几何画板迭代详解之迭代与分形几何Word文件下载.docx

几何画板迭代详解之迭代与分形几何Word文件下载.docx

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如今，几乎任何一本讲分形的书都要提到这些例子。

它们不但有趣，而且有助于形象地理解分形。

著名的Sierpinski三角形，它是很有代表性的线性分形，具有严格的自相似特点。

不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割---随着分割不断进行Sierpinski三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。

Sierpinski三角形在力学上也有实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。

【步骤】

1.在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。

2.新建参数n＝3

3.顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,。

4.添加新的映射,。

第3步

第4步

5.继续添加映射。

6.改变参数n可观察图形变化。

第5步

第6步

【Sierpinski地毯】

和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。

取正方形将其9等分，得到9个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围8个小正方形。

然后对每个小正方形再9等分，并同样舍去中央正方形。

按此规则不断细分与舍去，直至无穷。

谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。

1.平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。

2.以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；

以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。

同理得到I、J、K、L。

连接各点，将正方形九等分；

3.并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。

则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。

第2步

4.新建参数n＝4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）（G，P）；

（P，O）；

（O，J）；

（F，M）；

（M，N）；

（N，K）；

（A，E）；

（E，L）；

（L，B）。

注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。

单击迭代，隐藏不必要的点。

如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。

利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。

是不是很漂亮呢？

【摇曳的PythagoreanTree（毕达哥拉斯树）】

毕达哥拉斯学派发现勾股定理（西方叫做毕达哥拉斯定理）闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。

1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。

1.在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。

隐藏不必要的对象。

2.填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。

选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。

则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。

3.新建参数n＝4，选择A、B和n，作深度迭代，。

第2步

4.选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的效果。

当E点在的中点时，整个树显出对称美。

【分形树】

【分析】和毕达哥拉斯树类似，树枝按一定的规律生长。

【过程】

1.在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。

2.度量CB，BA的长度，计算CB/BA；

度量的大小。

3.双击C点作为旋转中心，旋转角度为，旋转B得到点E；

继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；

双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。

连接GC，FC。

4.双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。

第4步

5.新建参数n=3。

顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，（A,B,C）（B,C,G）,（B,C,F）,（B,D,H）,（B,D,I）。

6.移动C点的位置，改变树枝的形状。

【KOCH曲线】

瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”（Kochcurve）的几何对象，这一年他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。

它的构造过程如下：

取一条长度为L的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为的两个等长的直线，每段长度均为L/3，这是n=1的第一次操作。

类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长为L/3的线段都进行三等分，现在每段长度为L/9，并将它们中间的一段改成夹角为的两个长度为L/9的直线。

如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。

1.画线段AB，以A为缩放中心，B缩短为1/3,得到C点；

同理以B为缩放中心，A缩短为1/3，得到D点。

以C点为旋转中心，D点顺时针旋转60度，得到E点。

2.隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。

3.新建参数n＝3，顺次选择A、B两点和n，作深度迭代。

（A,B）（A,C）,（C,E）,（E,D）,（D,B）。

（如下图所示）

4.单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”。

隐藏线段AC、CE、ED、DB（如下图所示）。

5.改变参数n，观察图形变化。

【KOCH雪花】

因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”（snowflakecurve），也很像海岸线。

柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的1/3，然后按科赫曲线的规则产生生成元。

从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得48条边星形，如图4-5，以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。

在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。

由于科赫曲线生成中的每一步操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。

柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，曲线虽然连续，但处处不可微，即没有切线。

1.在平面上取AB做一个KOCH曲线，然后在A的左端任取一点G，在B的右边任取一点F，分别在AG和BF上做KOCH雪花，注意三个迭代深度都必须为n。

2.以B点为旋转中心，A顺时针旋转60度得到H点。

选择G，H两点，单击【编辑】【合并点】，则G点与H点合并。

同理，再合并H、F两点。

KOCH雪花完成了。

【数学之美】

【步骤】

1.任取两点A、B，并作正方形ABCD。

2.在AB上任取一点E,连接BE，度量线段BE的长度并计算BE/AB。

3.双击A点作为缩放中心，选择D点，单击【变换】【缩放】以计算结果‘AE/AB’为比例缩放，得到点F；

同理以D点为中心，缩放C点得到点G；

以C点为缩放中心，缩放B点得到点H。

连接正方形EFGH。

4.新建参数n＝5，顺次选择A、B两点，和参数n，按下shift键不放，作深度迭代，。

如下图所示：

5.选择E点，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】。

E点变动，产生梦幻般的效果。

【H迭代】

1.在水平直线上取两点A和B，连接AB。

以A点为旋转中心，B点顺时针旋转90度，得到C点，再取AC中点D。

2.以D为旋转中心，C点顺时针旋转90度得到E点，取DE中点F。

以D为旋转中心，F点再旋转180度得到G点。

连接FG。

3.同理再画出H、I两点。

以AB为标记镜面，得到F、G、H、I关于AB的对称点J、K、L、M，连接线段JK，LM。

4.隐藏不必要的点，新建参数n＝4。

顺次选择A、B两点、参数n，作深度迭代，

.

5.单击迭代，隐藏各点的标签。

【蜂巢】

蜜蜂地巢你观察过没有？

是什么形状呢？

聪明的蜜蜂选择了正六边形，因为这样可以填充整个空间，而且正六边形是最省材料的一中结构。

从蜂巢中我们也可以发现许多自相似的结构。

由三条边迭代就可以得到蜂巢了，不信？

请看。

1.屏幕上任取线段AB，以B为旋转中心，A点顺时针旋转120度得到点C，A点逆时针旋转120度得到点D。

2.新建参数n＝5。

选择A、B和参数n，作深度迭代，。

3.单击迭代，得到蜂巢的图像。

上面的迭代只是分形几何的一部分，由于篇幅所限，下面给出其余一些分形几何的图片，以供欣赏：