初中数学竞赛三角形的认识(二)Word下载.docx

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（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．

（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

（3）三角形的外角和为．

四.注意事项

当题目没有给出具体的图形，而根据题意图形形状不唯一或几何图形位置关系不确定时，需要分类讨论，避免漏解．

典型例题

一.三角形内角和外角的性质

【例1】对于三角形，你能证明吗？

你能找到多少种证明方法？

【例2】如图，是的边上的点，，，，求：

（1）的度数；

（2）的度数．

D

C

B

A

【例3】如图，育才中学刘明在学习了三角形有关角一节后，在纸上画了一个五角星，他想求五个角的度数和，你能帮助他吗？

【例4】如图所示，中，、、的外角分别记为、、，问它们的和是多少？

【例5】如图，中，、、的外角分别记为、、．若，求．

二.与角平分线相关的计算

【例6】如图，已知，，平分，求．

E

【例7】中，的平分线与的外角平分线相交于点．如果，求的度数．

【例8】如图，是中的平分线，是的外角平分线，、交于，试探究和的关系．

M

EA

DA

CA

AA

【例9】如图，平分，平分，、相交于，，，求的度数．

【例10】如图，平分交于，平分交于，和交于，，．求的度数．

G

H

F

【例11】如图，在中，、分别是的外角平分线，、是内角平分线，、交于，、交于，试探索、的关系．

GA

FA

【例12】

（1）如下左图，于，平分，试探寻与、的关系．

（2）如下右图，若将点在上移动到，于，其他条件不变，那么与、是否还有

（1）中的关系？

说明理由．

（3）当在的延长线上时，

（1）和

（2）中的结论是否还成立？

【例13】如图，已知中的两内角平分线交于点，两外角平分线交于点，一内角平分线与外角平分线交于．试分别探究、、与的关系；

P

N

【例14】如图，平分，平分，若，，求（用、表示）

【例15】如图，中，，，若，求．

【例16】平面内的四条线段、、、首尾顺次连接，已知，．

（1）如下左图，若与的平分线交于点，求的值；

（2）如下右图，点在的延长线上，的平分线和的平分线交于点，求的值．

BD

ND

DD

CD

【例17】如图，在中，平分交于，延长至，平分，且、的延长线交于点，若，且．

（1）求证：

；

（2）求的度数．

【例18】中，，的平分线与交于，的外角平分线与的延长线交于．已知，求的长．

L

三.应用与探究

【例19】如图，将纸片沿着折叠压平，试探索、、满足的关系．

2

1

【例20】如图，中，，剪去后，得到四边形，求．

【例21】如图，已知射线与射线互相垂直，、分别为、上一动点，、的平分线交于．问：

、在、上运动的过程中，的度数是否改变？

若不改变，求出其值；

若改变，说明理由．

O

【例22】如下左图，已知中，，为边上一点，为直线上一点，且．

（2）如下右图，若在的反向延长线上，其他条件不变，

（1）中的结论是否仍成立？

证明你的结论．

四.易错题分析

【例23】在中，高和所在直线交于点，若不是直角三角形，且，求的度数．

【例24】在中，，高、交于，且不与、重合，求的度数．

思维飞跃

【例25】在中，，求证：

．

BA

【例26】如图，是内的一点，、相交于，试判断、的大小关系并说明．

【例27】如图，在中，，的平分线与的平分线交于点，得；

的平分线与的平分线交于点，得；

…，的平分线与的平分线交于点，得．求．

作业

1.如图，是的边上的点，，，，求和．

2.如图，中，、、的外角分别记为、、．若，求．

3.如图，是中的平分线，是的邻补角的平分线．若，，求．

4.如图，在凹四边形中，已知与的平分线交于点，求证：

5.如图，平分交于，平分交于，和交于，，．求的度数．

6.中，的平分线与的外角平分线相交于点．如果，求的度数．

7.在中，高和所在直线交于点，若不是直角三角形，且，求的度数．

8.如图，,的平分线与的平分线相交于点，求的度数．

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思维的发掘能力的飞跃