二次函数压轴题解题思路有答案Word文件下载.doc
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2.(2012•莱芜)顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
练习:
(2014兰州)把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为( )Ay=﹣2(x+1)2+2By=﹣2(x+1)2﹣2Cy=﹣2(x﹣1)2+2Dy=﹣2(x﹣1)2﹣2
(二)、二次函数的相关应用
第一类:
面积问题
例题.(2012•莱芜)如图,顶点坐标为(2,﹣1)的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y
轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
(抛物线的解析式:
y=(x﹣2)2﹣1=x2﹣4x+3.)
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D,连接AC、AD,求△ACD的面积;
x
y
O
A
C
B
D
E
F
1.(2010•莱芜)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线交轴于两点,交轴于点.
(1)求此抛物线的解析式;
(抛物线的解析式为:
.)(3)P为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG垂直于轴,垂足为点G,试确定P点的位置,使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
2.(2014•莱芜)如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.
(抛物线的表达式为:
y=﹣x2+x.)
(3)若△AOC沿CD方向平移(点C在线段CD上,且不与点D重合),在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S,试求S的最大值.
3.(2014•兰州)如图,抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求抛物线的表达式;
(3)点E时线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
k|B|1.c|O|m
第二类:
.构造问题
(1)构造线段
(2013•莱芜)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(﹣3,0)、B(1,0)、C(﹣2,1),交y轴于点M.
(1)求抛物线的表达式;
(2)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;
(2)构造相似三角形
(抛物线的表达式为y=.)(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似?
若存在,求点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)构造平行四边形
(2014•莱芜)如图,过A(1,0)、B(3,0)作x轴的垂线,分别交直线y=4﹣x于C、D两点.抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点M为直线OD上的一个动点,过M作x轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,求此时点M的横坐标;
若不存在,请说明理由;
(4)构造等腰三角形
(2013•泰安)如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0)
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若点P是AB上的一动点,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值.(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.
(2014遵义)如图,二次函数的图象与交于(3,0)、(-1,0),与轴交于点.若点,同时从点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿,边运动,其中一点到达端点时,另一点也随即停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点的坐标.
(2)当点运动到点时,点停止运动,这时,在轴上是否存在点,使得以,,为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出点的坐标,若不存在,请说明理由.(3)当,运动到秒时,△沿翻折,点恰好落在抛物线上点处,请判定此时四边形的形状,并求出点坐标.
(5)构造直角三角形
22.(2014•四川内江)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3.0)、C(0,4),点B在抛物线上,CB∥x轴,且AB平分∠CAO.
(1)求抛物线的解析式;
(2)线段AB上有一动点P,过点P作y轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ的最大值;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM是以AB为直角边的直角三角形?
如果存在,求出点M的坐标;
如果不存在,说明理由.
(6)构造角相等
(2014•娄底)如图,抛物线y=x2+mx+(m﹣1)与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,与y轴交于点C(0,c),且满足x12+x22+x1x2=7.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上能不能找到一点P,使∠POC=∠PCO?
若能,请求出点P的坐标;
若不能,请说明理由.
(7)构造梯形
(2011莱芜)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-2,-4),OB=2,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、O、B三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点M是抛物线对称轴上一点,试求AM+OM的最小值;
(3)在此抛物线上,是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形.若存在,求点P的坐标;
(2010临沂)如图:
二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A(-,0),B(2,0)两点,且与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)在x轴上方的抛物线上有一点D,且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标;
(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?
若存在,求出P点的坐标;
若不存在,说明理由.
(8)构造菱形
(2013•枣庄)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?
求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
(9)构造对称点
(10)构造平行线
(2013•威海)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+与直线y=x交于点A,点B在直线y=x+上,∠BOA=90°
.抛物线y=ax2+bx+c过点A,O,B,顶点为点E.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标;
(3)设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C,直线BC交抛物线于点D,过点E作FE∥x轴,交直线AB于点F,连接OD,CF,CF交x轴于点M.试判断OD与CF是否平行,并说明理由.
(2014•山东烟台)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,C分别在y轴,x轴上,∠ACB=90°
,OA=,抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B(2,),与y轴交于点D.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上?
请说明理由;
(3)延长BA交抛物线于点E,连接ED,试说明ED∥AC的理由.
(11)构造垂直
第24题图
(2014宜宾市)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0,–1),与x轴交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)判断△MAB的形状,并说明理由;
(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点,连结MC、MD,试判断MC、MD是否垂直,并说明理由.
(12)构造圆
(2014年淄博)如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.
(1)使∠APB=30°
的点P有 无数 个;
(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°
,求满足条件的点P的坐标;
(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?
若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB最大的理由;
若没有,也请说明理由.
(13)轴对称
(2012浙江丽水)在直角坐标系中,点A是抛物线y=x2在第二象限上的点,连接OA,过点O作OB⊥OA,交抛物线于点B,以OA、OB为边构造矩形AOBC.
(1)如图1,当点A的横坐标为 时,矩形AOBC是正方形;
(2)如图2,当点A的横坐标为时,①求点B的坐标;
②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2,试判断抛物线y=-x2经过平移交换后,能否经过A,B,C三点?
如果可以,说出变换的过程;
如果不可以,请说明理由.
(14)规律
(2014•江西抚州,第23题,10分)如图,抛物线()位于轴上方的图象记为1,它与轴交于1、两点,图象2与1关于原点对称,2与轴的另一个交点为2,将1与2同时沿轴向右平移12的长度即可得3与4;
再将3与4同时沿轴向右平移12的长度即可得5与6;
……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象1,2,……,n,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.⑴当时,①求图象1的顶点坐标;
②点(2014,-3)不在(填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上;
若图象n的顶点n的横坐标为201,则图象n对应的解析式为,其自变量的取值范围为.⑵设图象m、m+1的顶点分别为m、m+1(m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12,0).试探究:
当为何值时,以、m、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形?
并直接写出此时m的值.
解析:
(1)当时,①,∴F1的顶点是(-1,1);
②由①知:
“波浪抛物线”的值的取值范围是-1≤≤1,∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上;
由平移知:
F2:
F3:
,…,∵Fn的顶点横坐标是201,∴Fn的解析式是:
,此时图象与轴的两个交点坐标是(200,0)、(202,0),∴200≤≤202.
(2)如下图,取OQ的中点O′,连接TmTm+1,∵四边形OTmQTm+1是矩形,∴TmTm+1=OQ=12,且TmTm+1经过O′,∴