中考数学专题复习动点型问题含详细参考答案.docx
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中考数学专题复习动点型问题含详细参考答案
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专题十动点型问题
一、中考专题诠释
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运
动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括
空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲
解决动点问题的关键是“动中求静”.
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点
的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观
念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做
好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学 “动点”探究题的基本思路,这也是
动态几何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲
考点一：
建立动点问题的函数解析式（或函数图像）
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律 ,是初中数学的重要内容 .动点问题
反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间
的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.
例 1（2013•兰州）如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返
回，点 P 在运动过程中速度不变，则以点 B 为圆心，线段 BP 长为半径的圆的面积 S 与点
P 的运动时间 t 的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
思路分析：
分析动点 P 的运动过程，采用定量分析手段，求出 S 与 t 的函数关系式，根据
关系式可以得出结论．
解：
不妨设线段 AB 长度为 1 个单位，点 P 的运动速度为 1 个单位，则：
（1）当点 P 在 A→B 段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；
（2）当点 P 在 B→A 段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．
综上，整个运动过程中，S 与 t 的函数关系式为：
S=π（t-1）2（0≤t≤2），
这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B 符合要求．
故选 B．
点评：
本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量
的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．
对应训练
1．（2013•白银）如图，⊙O 的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O
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与∠α 的两边相切，图中阴影部分的面积 S 关于⊙O 的半径 r（r＞0）变化的函数图象大致
是（）
A．B．C．
D．
1．C
考点二：
动态几何型题目
.
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动
变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求
高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与
特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊
位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：
等腰三角形、直角三
角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
（一）点动问题．
例 2 （2013•河北）如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且 AE=EF=FB=5，
DE=12 动点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DC-CB 以每秒 1 个单位长的速度运动到点 B 停止．设
运动时间为 t 秒，y=S△EPF，则 y 与 t 的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
思路分析：
分三段考虑，①点 P 在 AD 上运动，②点 P 在 DC 上运动，③点 P 在 BC 上运
动，分别求出 y 与 t 的函数表达式，继而可得出函数图象．
解：
在
ADE 中，AD=AE 2 + DE 2 = 13 ，在 Rt△CFB 中，BC= BF 2 + CF 2 = 13 ，
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①点 P 在 AD 上运动：
过点 P 作 PM⊥AB 于点 M，则 PM=APsin∠A= 12
13
t，
此时 y=
1 30
EF×PM= t，为一次函数；
2 13
1
②点 P 在 DC 上运动，y=EF×DE=30；
2
③点 P 在 BC 上运动，过点 P 作 PN⊥AB 于点 N，则 PN=BPsin∠B= 12
13
（AD+CD+BC-t）
=
12（31 - t ）
13
，
130（31 - t ）
则 y=EF×PN=，为一次函数．
213
综上可得选项 A 的图象符合．
故选 A．
点评：
本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论 y 与 t 的函数关系式，
当然在考试过程中，建议同学们直接判断是一次函数还是二次函数，不需要按部就班的解出
解析式．
对应训练
2．（2013•北京）如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦 AP
的长为
，APO 的面积为 y，则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
2．A
（二）线动问题
例 3 （2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线 l 垂直于 BC，
且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为 S，BP 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是（）
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A．B．
C．D．
思路分析：
分三段考虑，①当直线 l 经过 BA 段时，②直线 l 经过 AD 段时，③直线 l 经过
DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案．
解：
①当直线 l 经过 BA 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；
②直线 l 经过 DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；
③直线 l 经过 DC 段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；
结合选项可得，A 选项的图象符合．
故选 A．
点评：
本题考查了动点问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析
式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案．
对应训练
3．（2013•永州）如图所示，在矩形 ABCD 中，垂直于对角线 BD 的直线 l，从点 B 开始沿
着线段 BD 匀速平移到 D．设直线 l 被矩形所截线段 EF 的长度为 y，运动时间为 t，则 y 关
于 t 的函数的大致图象是（）
A．B．
C．D．
3．A
（三）面动问题
例 4（2013•牡丹江）如图所示：
边长分别为 1 和 2 的两个正方形，其中一边在同一水平
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线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为 t，大正方形内去
掉小正方形后的面积为 s，那么 s 与 t 的大致图象应为（）
A．B．C．D．
思路分析：
根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿
入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别
求出 S，可得答案．
解：
根据题意，设小正方形运动的速度为 V，分三个阶段；
①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，
②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，
③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，
分析选项可得，A 符合；
故选 A．
点评：
解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合
可得整体得变化情况．
对应训练
4．（2013•衡阳）如图所示，半径为 1 的圆和边长为 3 的正方形在同一水平线上，圆沿该水
平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为 t，正方形除去圆部分的面积为 S（阴影部分），
则S与t的大致图象为（）
A．B．C．D．
4．A
四、中考真题演
6． 2013•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A、B 的坐标分别为（8，
0）、（0，6）．动点 Q 从点 O、动点 P 从点 A 同时出发，分别沿着 OA 方向、AB 方向均以
1 个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为 t（秒）（0＜t≤5）．以 P 为圆心，PA 长为半
径的⊙P 与 AB、OA 的另一个交点分别为 C、D，连接 CD、QC．
（1）求当 t 为何值时，点 Q 与点 D 重合？
（2）设△QCD 的面积为 S，试求 S 与 t 之间的函数关系式，并求 S 的最大值；
（3）若⊙P 与线段 QC 只有一个交点，请直接写出 t 的取值范围．
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6．解：
（1）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= OA2 + OB2 = 82 + 62 =10，
4OB3
=，sin∠BAO==．
AB5AB5
∵AC 为⊙P 的直径，
∴△ACD 为直角三角形．
∴AD=AC•cos∠BAO=2t×= 8
55
t．
当点 Q 与点 D 重合时，OQ+AD=OA，
即：
t+
8
5
t=8，
40
解得：
t=．
13
40
∴t=（秒）时，点 Q 与点 D 重合．
13
（2）在
ACD 中，CD=AC•sin∠BAO=2t×
40
①当 0＜t≤
时，
13
3
5
=
6
5
t．
813
DQ=OA-OQ-AD=8-t-t=8-
55
t．
111363924
∴S=DQ•CD=（8-t）•t=-t2+t．
225255
b202040
∵-=，0＜＜，
2a131313
2048
∴当 t=时，S 有最大值为；
1313
40
②当＜t≤5 时，
13
813
DQ=OQ+AD-OA=t+t-8=t-8．
55
111363924
∴S=DQ•CD=（t-8）•t=t2-t．
2255
∵-
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b 20 20 40
= ， ＜ ，所以 S 随 t 的增大而增大，
2a 13 13 13
48
∴当 t=5 时，S 有最大值为 15＞．
13
综上所述，S 的最大值为 15．
（3）当 CQ 与⊙P 相切时，有 CQ⊥AB，
∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，
∴△ACQ∽△AOB，
∴
AC AC 2t 8 - t
= =
OA AB 8 10
，
16
解得 t=．
7
40
或＜t≤5．
713
9．（2013•遵义）如图，在
ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点 M，N 从点
C 同时出发，均以每秒 1cm 的速度分别沿 CA、CB 向终点 A，B 移动，同时动点 P 从点 B
出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM，PN，设移动时间为 t（单位：
秒，0＜t＜2.5）．
（1）当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？
（2）是否存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值？
若存在，求 S 的最小值；
若不存在，请说明理由．
9．解：
如图，
∵在
ABC 中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得 AC 2 + BC 2 =5cm．
（1）以 A，P，M 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况：
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①当△AMP∽△ABC 时，
AP AM 5 - 2t 4 - t
= =
AC AB 4 5
，
解得 t=
3
2
；
②当△APM∽△ABC 时，
AM AP 4 - t 5 - 2t
= =
AC AB 4 5
，
解得 t=0（不合题意，舍去）；
综上所述，当 t= 3
2
时，以 A、P、M 为顶点的三角形与△ABC 相似；
（2）存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻 t，使四边形 APNC 的面积 S 有最小值．
如图，过点 P 作 PH⊥BC 于点 H．则 PH∥AC，
∴
PH BP PH 2t
= = ，
AC BA 4 5
8
∴PH=t，
5
∴S=S△ABC
BPH，
118
=×3×4-×（3-t）•t，
225
4321
=（t-）2+（0＜t＜2.5）．
525
4
∵＞0，
5
∴S 有最小值．
当 t=
3 21
2 5
321
答：
当 t=时，四边形 APNC 的面积 S 有最小值，其最小值是．
25
10． 2013•苏州）如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点 E、F、
G 分别从 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为
1cm/s，点 F 的运动速度为 3cm/s，点 G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F
与点 C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线 EF 的对称图形
是△EB′F．设点 E、F、G 运动的时间为 t（单位：
s）．
（1）当 t= s 时，四边形 EBFB′为正方形；
（2）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，C，G 为顶点的三角形相似，求 t 的值；
（3）是否存在实数 t，使得点 B′与点 O 重合？
若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理
由．
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10．解：
（1）若四边形 EBFB′为正方形，则 BE=BF，
即：
10-t=3t，
解得 t=2.5；
（2）分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
BF10 - t3t
==
FCCG12 - 3t1.5t
解得：
t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
，
BF10 - t3t
==
CGFC1.5t12 - 3t
，
解得：
t=-14-2 69 （不合题意，舍去）或 t=-14+2 69 ．
∴当 t=2.8s 或 t=（-14+2 69 ）s 时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，C，G 为
顶点的三角形相似．
（3）假设存在实数 t，使得点 B′与点 O 重合．
如图，过点 O 作 OM⊥BC 于点 M，则在
OFM 中，OF=BF=3t，FM=
OM=5，
由勾股定理得：
OM2+FM2=OF2，
即：
52+（6-3t）2=（3t）2
1
2
BC-BF=6-3t，
解得：
t=
61
36
；
过点 O 作 ON⊥AB 于点 N，则在 Rt△OEN 中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，
ON=6，
由勾股定理得：
ON2+EN2=OE2，
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即：
62+（5-t）2=（10-t）2
解得：
t=3.9．
∵ 61
36
≠3.9，
∴不存在实数 t，使得点 B′与点 O 重合．
12．（2013•宁波）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（0，4），点
B 的坐标为（4，0），点 C 的坐标为（-4，0），点 P 在射线 AB 上运动，连结 CP 与 y 轴交
于点 D，连结 BD．过 P，D，B 三点作⊙Q 与 y 轴的另一个交点为 E，延长 DQ 交⊙Q 于
点 F，连结 EF，BF．
（1）求直线 AB 的函数解析式；
（2）当点 P 在线段 AB（不包括 A，B 两点）上时．
①求证：
∠BDE=∠ADP；
②设 DE=x，DF=y．请求出 y 关于 x 的函数解析式；
（3）请你探究：
点 P 在运动过程中，是否存在以 B，D，F 为顶点的直角三角形，满足两
条直角边之比为 2：
1？
如果存在，求出此时点 P 的坐标：
如果不存在，请说明理由．
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