中考数学专题训练：类比探究类问题解析版Word格式.doc

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∴GH=AB=2。

∵MG⊥EF，∴∠GME=90°

。

∴∠AME＋∠GMH=90°

∵∠AME＋∠AEM=90°

，∴∠AEM=∠GMH。

又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。

∴AN=HG。

∴△AEM≌△HMG（AAS）。

∴ME=MG。

∴∠EGM=45°

由

（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。

又∵MG⊥EF，∴GE=GF。

∴∠EGF=2∠EGM=90°

∴△GEF是等腰直角三角形。

（3）①＜AE≤。

②△GEF是等边三角形。

过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，

，∴四边形ABGH是矩形。

∴GH=AB=2。

又∵∠A=∠GHM=90°

，∴△AEM∽△HMG。

∴。

在Rt△GME中，∴tan∠MEG=。

∴∠MEG=600。

由

（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。

∴△GEF是等边三角形。

2、

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：

CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°

，请你利用

（1）的结论证明：

GE＝BE＋GD．

（3）运用

（1）

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°

，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°

，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．

（1）证明：

在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF（SAS）。

∴CE＝CF。

（2）证明：

如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。

由

（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF。

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，

即∠ECF＝∠BCD＝90°

又∠GCE＝45°

，∴∠GCF＝∠GCE＝45°

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG（SAS）。

∴GE＝GF，

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。

（3）如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°

又∠CGA＝90°

，AB＝BC，

∴四边形ABCD为正方形。

∴AG＝BC。

已知∠DCE＝45°

根据

（1）

（2）可知，ED＝BE＋DG。

∴10=4+DG，即DG=6。

设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，

在Rt△AED中，∵DE2=AD2＋AE2，即102=（x－6）2＋（x－4）2。

解这个方程，得：

x=12或x=－2（舍去）。

∴AB=12。

∴梯形ABCD的面积为108。

3、在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：

△BOG≌△POE；

（4分）

（2）通过观察、测量、猜想：

=▲，并结合图②证明你的猜想；

（5分）

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，

求的值．（用含α的式子表示）（5分）

∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°

∵PF⊥BG，∠PFB=90°

，∴∠GBO=90°

—∠BGO，∠EPO=90°

—∠BGO。

∴∠GBO=∠EPO。

∴△BOG≌△POE（AAS）。

（2）。

证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB。

∵∠OBC=∠OCB=450，∴∠NBP=∠NPB。

∴NB=NP。

∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。

∴△BMN≌△PEN（ASA）。

∴BM=PE。

∵∠BPE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF。

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900。

又∵PF=PF，∴△BPF≌△MPF（ASA）。

∴BF=MF，即BF=BM。

∴BF=PE，即。

（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900。

由

（2）同理可得BF=BM，∠MBN=∠EPN。

∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN。

在Rt△BNP中，，∴，即。

4、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A. 

（1）∠BEF=_____（用含α的代数式表示）；

（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；

（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）。

（1）180°

－2α。

（2）EB=EF。

连接BD交EF于点O，连接BF。

∵AD∥BC，∴∠A=180°

-∠ABC=180°

－2α，

∠ADC=180°

－∠C=180°

-α。

∵AB=AD，∴∠ADB=（180°

－∠A）=α。

∴∠BDC=∠ADC－∠ADB=180°

由

（1）得：

∠BEF=180°

－2α=∠BDC。

又∵∠EOB=∠DOF，∴△EOB∽△DOF。

∴，即。

∵∠EOD=∠BOF，∴△EOD∽△BOF。

∴∠EFB=∠EDO=α。

∴∠EBF=180°

－∠BEF－∠EFB=α=∠EFB。

∴EB=EF。

（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，

则∠G=∠AEG=。

∵AD∥BC，

∴∠EDF=∠C=α，∠GBC=∠A，∠DEB=∠EBC。

∴∠EDF=∠G。

∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠GBC。

∴∠GBC+∠EBC=∠DEB+∠BEF，即∠EBG=∠FED。

∴△DEF∽△GBE。

∵AB=mDE，AD=nDE，∴AG=AE=（n+1）DE。

∴BG=AG－AB=（n+1）DE－mDE=（n+1－m）DE。

5、探索发现：

已知：

在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N。

（1）如图①，如果AD=BC，求证：

直线EM是线段AB的垂直平分线；

（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？

请说明理由。

学以致用：

仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴。

（写出作图步骤，保留作图痕迹）

∵AD=BC，CD∥AB，∴AC=BD，∠DAB=∠CBA。

∴AE=BE。

∴点E在线段AB的垂直平分线上。

在△ABD和△BAC中，∵AB=BA，AD=BC，AC=BD，

∴△ABD≌△BAC（SSS）。

∴∠DBA=∠CAB。

∴OA=OB。

∴点O在线段AB的垂直平分线上。

∴直线EM是线段AB的垂直平分线。

（2）相等。

∵CD∥AB，∴△EDN∽△EAM，△ENC∽△EMB，△EDC∽△EAB。

∵CD∥AB，∴△OND∽△OMB，△ONC∽△OMA，△OCD∽△OAB。

∴。

∴AM2=BM2。

∴AM=BM。

（3）作图如下：

作法：

①连接AC，BD，两线相交于点O1；

②在梯形ABCD外DC上方任取一点E，连接EA，EB，分别交DC于点G，H；

③连接BG，AH，两线相交于点O2；

④作直线EO2，交AB于点M；

⑤作直线MO1。

则直线MO1。

就是矩形ABCD的一条对称轴。

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