武汉科技大学数值计算基础实验指导书文档格式.docx

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实验五迭代法解线性方程组与非线性方程 

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实验一直接法解线性方程组

一、实验目的

掌握全选主元消去法与高斯-塞德尔法解线性方程组。

二、实验内容

分别写出Guass列选主元消去法与追赶法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一解线性方程组问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

实验中以下列数据验证程序的正确性。

1、用Guass列选主元消去法求解方程组

2、用追赶法求解方程组

三、实验仪器设备与材料

主流微型计算机

四、实验原理

1、Guass列选主元消去法

对于AX=B

1）、消元过程：

将（A|B）进行变换为

，其中

是上三角矩阵。

即：

k从1到n-1

a、列选主元

选取第k列中绝对值最大元素

作为主元。

b、换行

c、归一化

d、消元

2）、回代过程：

由

解出

。

2、追赶法

线性方程组为：

做LU分解为：

分解公式：

则

回代公式：

五、实验步骤

1、理解并掌握全选主元消去法与高斯-塞德尔迭代法公式；

2、画出全选主元消去法与高斯-塞德尔迭代法的流程图

3、使用C语言编写出相应的程序并调试验证通过

六、实验报告要求

1、统一使用《武汉科技大学实验报告》本书写，实验报告的内容要求有：

实验目的、实验内容、程序流程图、源程序、运行结果及实验小结六个部分。

2、源程序需打印后粘贴在实验报告册内；

3、运行结果以屏幕截图形式保存并打印后粘贴在实验报告册内。

七、实验注意事项

注意如何定义数据结构以保存矩阵和解以降低算法的复杂性。

八、思考题

若使用全主元消去法，在编程中应如何记录保存对于未知数的调换。

实验二插值方法

掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法构造插值多项式。

分别写出拉格郎日插值法与牛顿插值法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一组插值节点，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

已知下列函数表

xi

0.56160

0.56280

0.56401

0.56521

yi

0.82741

0.82659

0.82577

0.82495

求x=0.5635时的函数值。

已知n个插值节点的函数值，则可由拉格郎日插值公式与牛顿插值公式构造出插值多项式，从而由该插值多项式求出所要求点的函数值。

拉格郎日插值公式与牛顿插值公式如下：

1、Lagrange插值公式

2、Newton插值公式

1、理解并掌握拉格郎日插值法与牛顿插值法的公式；

2、画出拉格郎日插值法与牛顿插值法算法的流程图；

3、使用C语言编写出相应的程序并调试验证通过。

Newton插值法在编程时应注意定义何种数据结构以保存差商。

比较Lagrange插值法与Newton插值法的异同。

实验三数值积分

掌握复化梯形法与龙贝格法计算定积分。

分别写出变步长梯形法与Romberge法计算定积分的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何类型的定积分，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

求

通过变步长梯形法与龙贝格法，我们只要知道已知n个求积节点的函数值，则可由相应的公式求出该函数的积分值，从而不需要求该函数的原函数。

变步长梯形法与龙贝格法公式如下：

1、变步长梯形法

用

来控制精度

2、龙贝格法

1、理解并掌握变步长梯形法与龙贝格法的公式；

2、画出变步长梯形法与龙贝格法的流程图

在

积分中，被积函数在x=0点函数值为1，对该点在程序设计中应注意对其的定义。

使用复化梯形法与复化Simpson法来计算该问题有何缺点？

实验四常微分方程的数值解

掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解一阶常微分方程的初值问题。

分别写出改进欧拉法与四阶龙格-库塔求解的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一阶常微分方程的数值解问题，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

步长h=0.25。

常微分方程的数值解主要采用“步进式”，即求解过程顺着节点排列次序一步一步向前推进，在单步法中改进欧拉法和四阶龙格-库塔法公式如下：

1、改进欧拉法

2、四阶龙格-库塔法

1、理解并掌握改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的公式；

2、画出改进欧拉法与四阶龙格-库塔法的流程图

的精确解为

，通过调整步长，观察结果的精度的变化

如何对四阶龙格-库塔法进行改进，以保证结果的精度。

实验五迭代法解线性方程组与非线性方程

掌握高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组与牛顿迭代法求方程根。

分别写出高斯-塞德尔迭代法与牛顿迭代法的算法，编写程序上机调试出结果，要求所编程序适用于任何一个方程的求根，即能解决这一类问题，而不是某一个问题。

1、高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组

2、用牛顿迭代法求方程

的近似根，

，牛顿法的初始值为1。

二分法通过将含根区间逐步二分，从而将根的区间缩小到容许误差范围。

牛顿通过迭代的方法逐步趋进于精确解，该两种方法的公式如下：

1、高斯-塞德尔迭代法

1）判断线性方程组是否主对角占优

2）直接分离xi，即

建立高斯-塞德尔迭代格式为：

3）取初值迭代求解至所要求的精度为止。

2、牛顿法

1、理解并掌握二分法与牛顿法的公式；

2、画出二分法与牛顿法的流程图

对于二分法应注意二分后如何判断根的区间，对于牛顿法注意如何确定迭代过程的结束

若使用牛顿法是发散的，如何对牛顿法进行改进以保证其收敛性。