二次函数中的等腰三角形问题Word格式.doc
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一、复习预习
1.二次函数的基础知识
2.等腰三角形的性质
3.相似三角形的性质
二、知识讲解
考点1二次函数的基础知识
1.一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数且a≠0),那么y叫做x的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必须是非零实数时才是二次函数,这也是判断函数是不是二次函数的重要依据.当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的三种表达形式分别为:
一般式:
y=ax2+bx+c,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式;
顶点式:
y=a(x-h)2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式;
交点式:
y=a(x-x1)(x-x2),通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1,x2才能求出此解析式;
对于y=ax2+bx+c而言,其顶点坐标为(-,).对于y=a(x-h)2+k而言其顶点坐标为(h,k),由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素:
开口方向,对称轴,顶点.
考点2等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角度数相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一性质”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
7.等腰三角形是轴对称图形,(不是等边三角形的情况下)只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴,等边三角形有三条对称轴。
8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方
9.等腰三角形的腰与它的高的关系
直接的关系是:
腰大于高。
间接的关系是:
腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。
考点3相似三角形的性质
1.相似三角形对应角相等,对应边成正比例。
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
3.相似三角形周长的比等于相似比。
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6.若a/b=b/c,即b²
=ac,b叫做a,c的比例中项
7.c/d=a/b等同于ad=bc.
8.不必是在同一平面内的三角形里
(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例.
(2)相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比
三、例题精析
【例题1】
如图,抛物线y=-x2+x-4与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M。
P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)。
分别过点A、B
作直线CP的垂线,垂足分别为D、E,连接MD、ME。
(1)求点A、B的坐标(直接写出结果),并证明△MDE是等腰三角形;
(2)△MDE能否为等腰直角三角形?
若能,求此时点P的坐标,若不能,说明理由;
(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”,其他条件不变,△MDE能否为等腰直角三角形?
若能,求此时点P的坐标(直接写出结果),若不能,说明理由。
【答案】
(1)抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4,令y=0,
即﹣x2+x﹣4=0,解得x=1或x=5,∴A(1,0),B(5,0).
如答图1所示,
分别延长AD与EM,交于点F;
∵AD⊥PC,BE⊥PC,∴AD∥BE,∴∠MAF=∠MBE;
在△AMF与△BME中,∠MAF=∠MBE,MA=MB,∠AMF=∠BME;
∴△AMF≌△BME(ASA),
∴ME=MF,即点M为Rt△EDF斜边EF的中点,
∴MD=ME,即△MDE是等腰三角形
(2)能;
抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣(x﹣3)2+,
∴对称轴是直线x=3,M(3,0);
令x=0,得y=﹣4,∴C(0,﹣4)
△MDE为等腰直角三角形,有3种可能的情形;
①若DE⊥EM,
由DE⊥BE,可知点E、M、B在一条直线上,
而点B、M在x轴上,因此点E必然在x轴上,
由DE⊥BE,可知点E只能与点O重合,即直线PC与y轴重合,
不符合题意,故此种情况不存在;
②若DE⊥DM,与①同理可知,此种情况不存在;
③若EM⊥DM,如答图2所示
设直线PC与对称轴交于点N,
∵EM⊥DM,MN⊥AM,∴∠EMN=∠DMA
在△ADM与△NEM中,∠EMN=∠DMA,EM=DM,∠ADM=∠NEM=135°
;
∴△ADM≌△NEM(ASA),∴MN=MA
抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣4=﹣(x﹣3)2+,故对称轴是直线x=3,
∴M(3,0),MN=MA=2,
∴N(3,2)
设直线PC解析式为y=kx+b,∵点N(3,2),C(0,﹣4)在抛物线上,
∴,解得k=2,b=﹣4,∴y=2x﹣4
将y=2x﹣4代入抛物线解析式得2x﹣4=﹣x2+x﹣4
解得x=0或x=,
当x=0时,交点为点C;
当x=时,y=2x﹣4=3
∴P(,3)
综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(,3)
(3)能;
如答题3所示,设对称轴与直线PC交于点N;
与
(2)同理,可知若△MDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M;
∵MD⊥ME,MA⊥MN,∴∠DMN=∠EMB
在△DMN与△EMB中,∠DMN=∠EMB,MD=MB,∠MDN=∠MEB=45°
∴△DMN≌△EMB(ASA),
∴MN=MB;
∴N(3,﹣2)
设直线PC解析式为y=kx+b,∵点N(3,﹣2),C(0,﹣4)在抛物线上,
∴,解得k=,b=﹣4,∴y=x﹣4
将y=x﹣4代入抛物线解析式得x﹣4=﹣x2+x﹣4,
解得x=0或x=,
当x=时,y=x﹣4=
∴P(,)
综上所述,△MDE能成为等腰直角三角形,此时点P坐标为(,)
【解析】
(1)在抛物线解析式中,令y=0,解一元二次方程,可求得点A、点B的坐标;
如答图1所示,作辅助线,构造全等三角形△AMF≌△BME,得到点M为为Rt△EDF斜边EF的中点,从而得到MD=ME,问题得证;
(2)首先分析,若△MDE为等腰直角三角形,直角顶点只能是点M;
如答图2所示,设直线PC与对称轴交于点N,首先证明△ADM≌△NEM,得到MN=AM,从而求得点N坐标为(3,2);
其次利用点N、点C坐标,求出直线PC的解析式;
最后联立直线PC与抛物线的解析式,求出点P的坐标;
(3)当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时,解题思路与
(2)完全相同;
【例题2】
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴一个交点A的坐标为(﹣1,0),对称轴为直线x=﹣2.
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)点D是抛物线与y轴的交点,点C是抛物线上的另一点.已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9.求此抛物线的解析式,并指出顶点E的坐标;
(3)点P是
(2)中抛物线对称轴上一动点,且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动.设点P运动的时间为t秒.
①当t为 秒时,△PAD的周长最小?
当t为 或 秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形?
(结果保留根号)
②点P在运动过程中,是否存在一点P,使△PAD是以AD为斜边的直角三角形?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)由抛物线的轴对称性及A(﹣1,0),可得B(﹣3,0).
(2)设抛物线的对称轴交CD于点M,交AB于点N,
由题意可知AB∥CD,由抛物线的轴对称性可得CD=2DM.
∵MN∥y轴,AB∥CD,
∴四边形ODMN是矩形.
∴DM=ON=2,
∴CD=2×
2=4.
∵A(﹣1,0),B(﹣3,0),
∴AB=2,
∵梯形ABCD的面积=(AB+CD)•OD=9,
∴OD=3,即c=3.
∴把A(﹣1,0),B(﹣3,0)代入y=ax2+bx+3得,
解得.
∴y=x2+4x+3.
将y=x2+4x+3化为顶点式为y=(x+2)2﹣1,得E(﹣2,﹣1).
(3)①当t为2秒时,△PAD的周长最小;
当t为4或4﹣或4+秒时,△PAD是以AD为腰的等腰三角形.
②存在.
∵∠APD=90°
,∠PMD=∠PNA=90°
,
∴∠PDM+∠APN=90°
,∠DPM+∠PDM=90°
∴∠PDM=∠APN,
∵∠PMD=∠ANP,
∴△APN∽△PDM,
∴=,
∴PN2﹣3PN+2=0,
∴PN=1或PN=2.
∴P(﹣2,1)或(﹣2,2).
故答案为:
2;
4或4﹣或4+.
(1)根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)先根据梯形ABCD的面积为9,可求c的值,再运用待定系数法可求抛物线的解析式,转化为顶点式可求顶点E的坐标;
(3)①根据轴对称﹣最短路线问题的求法可得△PAD的周长最小时t的值;
根据等腰三角形的性质可分三种情况求得△PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值;
②先证明△APN∽△PDM,根据相似三角形的性质求得PN的值,从而得到点P的坐标.
四、课堂运用
【基础】
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为(0,-2),交x轴于A、B两点,其中A(-1,0),直线l:
x=m(m>1)与x轴交于D。
(1)求二次函数的解析式和B的坐标;
(2)在直线l上找点P(P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式表示);
A
B
C
D
O
x
y
l
(3)在
(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在第一象限内的点Q,使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形?
如果存在,请求出点Q的坐标;
如果不存在,请说明理由。
【巩固】
如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(﹣2,0).
(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程;
(2)求点C的坐标,连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式;
(3)试判断△AOC与△COB是否相似?
并说明理由;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?
若不存在,求出符合条件的Q点坐标;
【拔高】
如图,已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=﹣1.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒.