二次函数中的等腰三角形问题Word格式.doc

1、 一、复习预习1.二次函数的基础知识2.等腰三角形的性质3.相似三角形的性质 二、知识讲解考点1 二次函数的基础知识 1.一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a0），那么y叫做x的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数2.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：

2、y=a（xx1）（xx2），通常要知道图像与x轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（，）对于y=a（xh）2+k而言其顶点坐标为（h，k），由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点考点2 等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上

3、的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的一半的平方9.等腰三角形的腰与它的高的关系直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。考点3 相似三角形的性质1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。2.相似三角形的一切对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。3.相似三角形周长的比等于相似比

4、。4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若a/b =b/c，即b=ac，b叫做a,c的比例中项7.c/d=a/b 等同于ad=bc.8.不必是在同一平面内的三角形里（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形周长的比等于相似比 三、例题精析【例题1】如图，抛物线y- x2+ x-4与x轴相交于点、，与y轴相交于点，抛物线的对称轴与x轴相交于点。是抛物线在x轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）。分别过点、作直线

5、的垂线，垂足分别为、，连接、。（1）求点、的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形；（2）能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标，若不能，说明理由；（3）若将“是抛物线在x轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）”改为“是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。 【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+ x4，令y=0，即x2+ x4=0，解得x=1或x=5，A（1，0），B（5，0）如答图1所示，分别延长AD与EM，交于点F；ADPC，BEPC，ADBE，MAF=MBE；在AMF与BME中，MAF=MBE，

6、MA=MB,AMF=BME；AMFBME（ASA），ME=MF，即点M为RtEDF斜边EF的中点，MD=ME，即MDE是等腰三角形（2）能；抛物线解析式为y=x2+ x4=（x3）2+ ，对称轴是直线x=3，M（3，0）；令x=0，得y=4，C（0，4）MDE为等腰直角三角形，有3种可能的情形；若DEEM，由DEBE，可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，由DEBE，可知点E只能与点O重合，即直线PC与y轴重合，不符合题意，故此种情况不存在；若DEDM，与同理可知，此种情况不存在；若EMDM，如答图2所示 设直线PC与对称轴交于点N，EMDM，MNAM，EMN

7、=DMA在ADM与NEM中，EMN=DMA，EM=DM,ADM=NEM=135；ADMNEM（ASA），MN=MA抛物线解析式为y=x2+x4=（x3）2+，故对称轴是直线x=3，M（3，0），MN=MA=2，N（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，点N（3，2），C（0，4）在抛物线上， ，解得k=2，b=4，y=2x4将y=2x4代入抛物线解析式得2x4=x2+x4解得x=0或x=，当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x4=3P（ ，3）综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（ ，3）（3）能；如答题3所示，设对称轴与直线PC交于点N；与（2）同理，可知若MDE为等腰

8、直角三角形，直角顶点只能是点M；MDME，MAMN，DMN=EMB在DMN与EMB中，DMN=EMB，MD=MB,MDN=MEB=45DMNEMB（ASA），MN=MB；N（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，点N（3，2），C（0，4）在抛物线上，解得k=，b=4，y=x4将y=x4代入抛物线解析式得x4=x2+x4，解得x=0或x= ，当x= 时，y=x4=P（，）综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（ ， ）【解析】（1）在抛物线解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得点A、点B的坐标；如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形AMFBME，得到点M为为RtEDF斜边E

9、F的中点，从而得到MD=ME，问题得证；（2）首先分析，若MDE为等腰直角三角形，直角顶点只能是点M；如答图2所示，设直线PC与对称轴交于点N，首先证明ADMNEM，得到MN=AM，从而求得点N坐标为（3，2）；其次利用点N、点C坐标，求出直线PC的解析式；最后联立直线PC与抛物线的解析式，求出点P的坐标；（3）当点P是抛物线在x轴下方的一个动点时，解题思路与（2）完全相同；【例题2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴一个交点A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点已知以AB为一底边的梯形A

10、BCD的面积为9求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动设点P运动的时间为t秒当t为秒时，PAD的周长最小？当t为 或 秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）点P在运动过程中，是否存在一点P，使PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）由抛物线的轴对称性及A（1，0），可得B（3，0）（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知ABCD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DMMNy轴，ABCD，四边形ODMN是矩形DM=ON=2

11、，CD=22=4A（1，0），B（3，0），AB=2，梯形ABCD的面积=（AB+CD）OD=9，OD=3，即c=3把A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得y=x2+4x+3将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）21，得E（2，1）（3）当t为2秒时，PAD的周长最小；当t为4或4或4+秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形存在APD=90，PMD=PNA=90，PDM+APN=90，DPM+PDM=90PDM=APN，PMD=ANP，APNPDM，=，PN23PN+2=0，PN=1或PN=2P（2，1）或（2，2）故答案为：2；4或4或4+（1）根据抛物线的轴对称性

12、可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）先根据梯形ABCD的面积为9，可求c的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点E的坐标；（3）根据轴对称最短路线问题的求法可得PAD的周长最小时t的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值；先证明APNPDM，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标四、课堂运用【基础】 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m1）与x轴交于D。（1）求二次函数的解析式和B的坐标；（2）在直线l上找点P（P在第一

13、象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；ABCDOxyl（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。【巩固】 如图，已知抛物线y=x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断AOC与COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；【拔高】如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=1（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒