数值分析学期期末考试试题与答案AWord文件下载.docx
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,χ=
-5
则IA^
χ∣2=
JAXl
L
—1
3
0一
■
一1一
3.
-^）A2f（0）A3f（f）的代数精度尽量高，应使
已知f（X）=2x54x3-5x,则f[-1,1,0]=,f[-3,-2,-1,1,2,3]=_.
4.为使求积公式jf（x）dxA∣f（
A=,A=,A^=,此时公式具有次的代数精度。
5.n阶方阵A的谱半径?
（A）与它的任意一种范数A的关系是.
6.用迭代法解线性方程组AX=B时，使迭代公式X（jI）=MX（Iυ∙N（k=0,1,2,∣ll）产
生的向量序列IX（k）[收敛的充分必要条件是.
7.使用消元法解线性方程组AX=B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L和上三角矩
4-21
阵U的乘积，即A=LU.若采用高斯消元法解AX=B,其中A,则
＞1」
L=,U=;
若使用克劳特消元法解AX=B,则
U11二—；
若使用平方根方法解AX=B,则I11与u11的大小关系为（选填：
＞，
＜，=,不一定）。
V=X亠V
8.以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题《'
y的数值解，其迭代公式为
IV（O）=1
三、计算题（第1〜3、6小题每题8分，第4、5小题每题7分，共46分）
1.以X0=2为初值用牛顿迭代法求方程f（X）=X-3x-1=0在区间（1,2）内的根，要求
（1）证明用牛顿法解此方程是收敛的；
（2）给出用牛顿法解此方程的迭代公式，并求出这个根（只需计算X1,X2,计算结果
取到小数点后4位）。
2.给定线性方程组
X10.4X20.4x3=1
0.4x1x20.8x3=2
0.4x10.8x2X3=3
（1）分别写出用JaCobi和GaUSS-Seidel迭代法求解上述方程组的迭代公式;
（2）试分析以上两种迭代方法的敛散性。
3.已知函数^f（X）在如下节点处的函数值
X
-1
y
4
（1）建立以上数据的差分表；
（2）根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式PJ（X）,并计算y（1.1）的近似值;
（3）采用事后估计法计算
（2）中近似值的截断误差（结果保留四位小数）。
4.已知如下数据表，试用最小二乘法求它的二次最小平方逼近多项式。
5
8
6.写出前进欧拉公式、后退欧拉公式，并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解下列常微分方程的数值解。
*22
（0<
x<
1,h=0.2）
Jy=X+y
y（0）=0
四、（8分）已知n+1个数据点（χi,yj（i=0,1,2,IH,n）,请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系，并说明各种函数的适用条件。
期末考试答案及评分标准（A卷）
数值分析
一、判断题：
（每小题2分，共10分）
1.×
2.√3.×
4.×
5.×
二、填空题：
（每空2分，共36分）
1.0.00或0.510，0.5
2.5,'
26,15
3.0,2
4.1,0,1,3
6.T（M）：
：
^101
7.
_2
8.yeyn（XnynI（IXny或yn1"
5xn2∙5yn°
.5,n"
12川三、解答题（第1〜4小题每题8分，第5、6小题每题7分，共46分）
1.
（1）证明：
f（x）=χ3-3x-1,由于
a）f
（1）=一3：
0,f
（2）=10,
b）f（x）=3x2-3=0（X（1,2））,
C）f（x）=6x0（X（1,2））,即f（X）在（1,2）上不变号,
d）对于初值X0=2,满足f
（2）f
（2）0,
所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。
4分
（2）解：
牛顿迭代法的迭代公式为
取初值X。
=2进行迭代，得
Xt=1.8889,
1分
x2=1.8795.
3-0.960.256=0,即卩（一0.8）（0.40.505）（0.4—0.505）=0,
从而得∙1=-1.0928,∙2=0.8000,'
3=0.2928,（或由单调性易判断必有一个大于1
的特征根，）因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1,所以JaCObi迭代法发散。
2分
λ0.40.4
GaUSS-SeideI迭代矩阵的特征方程为0.4乙λ0.8=0,展开得
0.4人0.8扎λ
（2-0.8320.128）=0,解得1=0,20.628,30.204,迭代矩阵的谱半径
小于1,所以GaUSS-SeideI迭代法收敛。
2分
3.解：
（1）建立差分表
△y
∆2y
A3
∆y
-4
-3
-2
2分
（2）建立牛顿后插公式为
32
P（XrQ-I（X-2）--（x-2）（X-1）
=-3（x-2）-（x-2）（x-1）
一χ24
则所求近似值为
P2（1.1）=2.79
3分
（3）根据前三个节点建立牛顿后插公式为
14
P2（I）（X）=3--（X-1）--（X-1）x
=3-（X-1）-2x（x_1）
--2XX4
则
Py（1.1）=2.68
根据事后误差估计法
R2（Xr:
1P2（0.9）-P2（I）（0.9）
故截断误差
-09
R2（1.1）（2.79-2.68）：
-0.0471
3分
4268
268,MY=4
6818.6
5.解：
设F2（x）为已知节点数据的插值二次多项式。
构造如下差商表:
一阶差商
二阶差商
P2⑶
P2（3）
7
P2[3,3]
2P2[4,3,3]P2[3,3,3]
因为二次多项式的二阶差商为常数，又F2（x）是f（x）的插值函数，故有
5P2[4,3,3]=P2[3,3,3]=
P2[4,3,3]=
P2[3,3]-75
3-42
因此得
9
P2[3,3]=;
，
由于
f（k）（x）k!
Pn[χ,X,χ,∣ll,χ],
k1
从而得
f（3）=P2[3,3]=-,
f（3）=2!
P2[33,3]=5.
22
6.解：
前进欧拉公式：
yn4=yn∙h∙f（Xn,yn）=yn∙0.2Xn0.2丫“1分
后退欧拉公式：
ynynhf（Xnι,yn1）=Yn0∙2Xn10纫1
预估时采用欧拉公式
Yn1=Yn0.2Xn0.2丫.
校正时采用后退欧拉公式
2*i
Yn^yn-0.2Xn10.2头1
由初值X0=Qy0=Qh=0.2知，节点分别为X=0.2i,（i=1,2,3,4,5）
当X1-0.2,
Y1=y°
0.2X0O.2yo=0,
H0.008，
2*2
y1=y°
+0.2X1+0.2（%）
当X2=0.4,
Y2=y√0.2X10.2y10.0160,
:
0.0401.
当x3=0.6,
y3=y20.2x20.2y20.0724,
*=y20.2X30.2y3:
0.1131.
当x^0.8,
y4=y30.2x30.2y30.1877,
y4-y30.2X40.2y40.2481.
当X5=1.0,
y2=yι0.2X20.2y2
y5=y40.2x40.2y40.3884,
y5=y40.2X50.2y50.4783.
四、（8分）
答：
1、可以建立插值函数：
（1）NeWton基本差商公式
Pn（X）=f（x°
）（Xx）f[X1,X0]（X-X°
）（x-%）f[X2,x1,X0]
Hl（X-X）（x-X川∣（x-XnJf[Xn,∣∣∣,X,X0]
（2）Lagrange插值多项式
Ln（X）=a。
f（x0）a1f（xjIHaif（Xi）川a.f（Xn）
（i=0,1,）l∣,n）.
（x_x。
）（X-Xi4）（x-Xi1）（X-Xn）
（XiX）H∣（Xi-X4）（Xi-XJlH（Xi-Xn）
这两类插值函数的适用条件是：
n不太大；
而且要求函数严格通过已知数据点。
2、可以建立拟合函数:
Pm（XMaoaιxa2X2IIIamχm
其中系数a0,a1,a2,∣∣∣,an满足法方程组MMA=MY,
拟合函数的适用条件是：
n比较大，而且并不要求函数严格通过已知数据点，或者已知数据点本身的误差较大。
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