等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题经典版Word下载.docx
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7、等比数列的性质:
〔2〕对任何,在等比数列中,有。
〔3〕假设,那么。
特别的,当时,得注:
等差和等比数列比拟:
等差数列
等比数列
定义
递推公式
通项公式
〔〕
中项
前项和
重要
性质
经典例题透析
类型一:
等比数列的通项公式
例1.等比数列中,,,求.
思路点拨:
由等比数列的通项公式,通过条件可列出关于和的二元方程组,解出和,可得;
或注意到下标,可以利用性质可求出、,再求.
解析:
法一:
设此数列公比为,那么
由
(2)得:
..........(3)
∴.
由
(1)得:
∴......(4)
(3)÷
(4)得:
,
∴,解得或
当时,,;
当时,,.
法二:
∵,又,
∴、为方程的两实数根,
∴或
∵,∴或.
总结升华:
①列方程〔组〕求解是等比数列的根本方法,同时利用性质可以减少计算量;
②解题过程中详细求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的,故较多变形要用除法〔除式不为零〕.
举一反三:
【变式1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求a6。
【答案】±
96
设公比为q,那么768=a1q8,q8=256,∴q=±
2,∴a6=±
96;
a52=a1a9a5=±
48q=±
96。
【变式2】{an}为等比数列,an>0,且a1a89=16,求a44a45a46的值。
【答案】64;
∵,又an>0,∴a45=4
∴。
【变式3】等比数列,假设,,求。
【答案】或;
∵,∴,∴
从而解之得,或,
当时,;
当时,。
故或。
由等比数列的定义知,
代入得
将代入〔1〕得,
解得或
由〔2〕得或,以下同方法一。
类型二:
等比数列的前n项和公式
例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn,假设S3+S6=2S9,求数列的公比q.
假设q=1,那么有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1.
因a1≠0,得S3+S6≠2S9,显然q=1与题设矛盾,故q≠1.
由得,,
整理得q3(2q6-q3-1)=0,
由q≠0,得2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,
因q3≠1,故,所以。
【变式1】求等比数列的前6项和。
【答案】;
∵,,
【变式2】:
{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求S5.
∵,,那么a1=1或a1=9
【变式3】在等比数列中,,,,求和。
【答案】或2,;
∵,∴
解方程组,得或
①将代入,得,
由,解得;
②将代入,得,
由,解得。
∴或2,。
类型三:
等比数列的性质
例3.等比数列中,假设,求.
∵是等比数列,∴
∴
【变式1】正项等比数列中,假设a1·
a100=100;
那么lga1+lga2+……+lga100=_____________.
【答案】100;
∵lga1+lga2+lga3+……+lga100=lg(a1·
a2·
a3·
……·
a100)
而a1·
a100=a2·
a99=a3·
a98=……=a50·
a51
∴原式=lg(a1·
a100)50=50lg(a1·
a100)=50×
lg100=100。
【变式2】在和之间插入三个数,使这五个数成等比数列,那么插入的三个数的乘积为________。
【答案】216;
设这个等比数列为,其公比为,
∵,,∴,
设这个等比数列为,公比为,那么,,
参加的三项分别为,,,
由题意,,也成等比数列,∴,故,
类型四:
等比数列前n项和公式的性质
例4.在等比数列中,,,求。
等差数列中也有类似的题目,我们仍然采用等差数列的解决方法,即等比数列中前k项和,第2个k项和,第3个k项和,……,第n个k项和仍然成等比数列。
令b1=Sn=48,b2=S2n-Sn=60-48=12,b3=S3n-S2n
观察b1=a1+a2+……+an,
b2=an+1+an+2+……+a2n=qn(a1+a2+……+an),
b3=a2n+1+a2n+2+……+a3n=q2n(a1+a2+……+an)
易知b1,b2,b3成等比数列,∴,
∴S3n=b3+S2n=3+60=63.
∵,∴,
由得
②÷
①得,即③
③代入①得,
法三:
∵为等比数列,∴,,也成等比数列,
∴,
【变式1】等比数列中,公比q=2,S4=1,那么S8=___________.
【答案】17;
S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(a1+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1×
(1+24)=17
【变式2】等比数列的前n项和为Sn,且S10=10,S20=40,求:
S30=?
【答案】130;
S10,S20-S10,S30-S20构成等比数列,∴(S20-S10)2=S10·
(S30-S20)
即302=10(S30-40),∴S30=130.
∵2S10≠S20,∴,
∵,,
∴∴,∴
∴.
【变式3】等比数列的项都是正数,假设Sn=80,S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求n.
【答案】∵,∴(否那么)
∴=80........
(1)
=6560.........
(2),
(2)÷
(1)得:
1+qn=82,∴qn=81......(3)
∵该数列各项为正数,∴由(3)知q>
1
∴{an}为递增数列,∴an为最大项54.
∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q,
∴81a1=54q..........(4)
∴代入
(1)得,
∴q=3,∴n=4.
【变式4】等比数列中,假设a1+a2=324,a3+a4=36,那么a5+a6=_____________.
【答案】4;
令b1=a1+a2=a1(1+q),b2=a3+a4=a1q2(1+q),b3=a5+a6=a1q4(1+q),
易知:
b1,b2,b3成等比数列,∴b3===4,即a5+a6=4.
【变式5】等比数列中,假设a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56,求a7+a8+a9的值。
【答案】448;
∵{an}是等比数列,∴(a4+a5+a6)=(a1+a2+a3)q3,∴q3=8,
∴a7+a8+a9=(a4+a5+a6)q3=56×
8=448.
类型五:
等差等比数列的综合应用
例5.三个数成等比数列,假设前两项不变,第三项减去32,那么成等差数列.假设再将此等差数列的第二项减去4,那么又成等比数列.求原来的三个数.
恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设较少的未知数,并将其设为整式形式.
设成等差数列的三数为a-d,a,a+d.
那么a-d,a,a+d+32成等比数列,a-d,a-4,a+d成等比数列.
∴
由
(2)得a=...........(3)
由
(1)得32a=d2+32d..........(4)
(3)代(4)消a,解得或d=8.
∴当时,;
当d=8时,a=10
∴原来三个数为,,或2,10,50.
设原来三个数为a,aq,aq2,那么a,aq,aq2-32成等差数列,a,aq-4,aq2-32成等比数列
由
(2)得,代入
(1)解得q=5或q=13
当q=5时a=2;
当q=13时.
∴原来三个数为2,10,50或,,.
选择适当的设法可使方程简单易解。
一般地,三数成等差数列,可设此三数为a-d,a,a+d;
假设三数成等比数列,可设此三数为,x,xy。
但还要就问题而言,这里解法二中采用首项a,公比q来解决问题反而简便。
【变式1】一个等比数列有三项,假如把第二项加上4,,那么所得的三项就成为等差数列,假如再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.
【答案】为2,6,18或;
设所求的等比数列为a,aq,aq2;
那么2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32);
解得a=2,q=3或,q=-5;
故所求的等比数列为2,6,18或.
【变式2】三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数。
【答案】1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1
设这三个数分别为,
得,所以或,
即或
故所求三个数为:
1、3、9或―1、3、―9或9、3、1或―9、3、―1。
【变式3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.
【答案】0,4,8,16或15,9,3,1;
设四个数分别是x,y,12-y,16-x
由
(1)得x=3y-12,代入
(2)得144-24y+y2=y(16-3y+12)
∴144-24y+y2=-3y2+28y,∴4y2-52y+144=0,
∴y2-13y+36=0,∴y=4或9,
∴x=0或15,
∴四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
类型六:
等比数列的判断与证明
例6.数列{an}的前n项和Sn满足:
log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式,并判断{an}是何种数列?
由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式,通过通项公式判断{an}类型.
∵log5(Sn+1)=n,∴Sn+1=5n,∴Sn=5n-1(n∈N+),
∴a1=S1=51-1=4,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4×
5n-1
而n=1时,4×
5n-1=4×
51-1=4=a1,
∴n∈N+时,an=4×
由上述通项公式,可知{an}为首项为4,公比为5的等比数列.
【变式1】数列{Cn},其中Cn=2n+3n,且数列{Cn+1-pCn}为等比数列,求常数p。
【答案】p=2或p=3;
∵{Cn+1-pCn}是等比数列,
∴对任意n∈N且n≥2,有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1)
∵Cn=2n+3n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)]2=[(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)]·
[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]
即[(2-p)·
2n+(3-p)·
3n]2=[(2-p)·
2n+1+(3-p)·
3n+1]·
[(2-p)·
2n-1+(3-p)·
3n-1]
整理得:
解得:
p=2或p=3,
显然Cn+1-pCn≠0,故p=2或p=3为所求.
【变式2】设{an}、{bn}