高中数学第二章点直线平面之间的位置关系习题课学案新人教A版必修Word下载.docx

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B.α内不存在与l平行的直线

C.α内存在唯一的直线与l平行

D.α内的直线与l都相交

解析　直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交，故选B.

4.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为（　　）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.可能重合

解析　若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.

答案　C

5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是（　　）

C.异面D.平行或异面

解析　由长方体性质知：

EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.

答案　A

6.已知直线a，b，平面α，且a∥α.

（1）如果a，b相交，那么b与α的位置关系是________.

（2）如果b∥α，那么b与a的位置关系是________.

答案　

（1）b∥α，或b与α相交

（2）b∥a，或b与a相交，或b与a异面

题型一　利用平行关系的转化证题

【例1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是面对角线AB1，BC1上两点，且＝.

求证：

MN∥平面A1B1C1D1.

证明　法一　由“面面平行⇒线面平行”来证明.

在平面A1B内，作MK∥A1B1，交BB1于点K，连接KN（如图）.

∵A1B1∥AB，∴MK∥AB.

由平行线截线段成比例定理知＝.

而＝（已知），

∴＝，∴KN∥B1C1.

∵A1B1∩B1C1＝B1，MK∩KN＝K，

∴平面MKN∥平面A1B1C1D1.

而MN⊂平面MKN，∴MN∥平面A1B1C1D1.

法二　添加辅助线，由“线线平行⇒线面平行”来证明.

连接BM并延长交A1B1于点P，连接PC1，则可证△B1MP∽△AMB，

∴＝.而＝（已知），∴＝.

由平行线截线段成比例定理得MN∥PC1.

而PC1⊂平面A1B1C1D1，MN⊄平面A1B1C1D1，∴MN∥平面A1B1C1D1.

规律方法　常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，证明线面平行时，可以先转化为线线平行，再根据线面平行的判定定理证明.证明平面与平面平行时，关键是证明直线与平面平行.

【训练1】如图，三棱柱ABC－A′B′C′中，M、N分别为BB′，A′C′的中点.求证：

MN∥平面ABC′.

证明　取B′C′的中点P，连接MP，NP，则MP∥BC′，

NP∥A′B′.

因为A′B′∥AB，所以NP∥AB.

又因为AB⊂平面ABC′，NP⊄平面ABC′，

所以NP∥平面ABC′.

同理MP∥平面ABC′.

又因为NP∩MP＝P，所以平面MNP∥平面ABC′.

因为MN⊂平面MNP，所以MN′平面ABC′.

题型二　平行中的探索性问题

【例2】已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥面AEC？

证明你的结论，并说出点F的位置.

解　如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.

∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC.

又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC，

又BF⊂平面BGF.∴BF∥平面AEC.

∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点.

又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点.

而GF∥CE，∴F为PC的中点.

因此，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.

规律方法　对于探索性问题，一是可直接运用题中条件，结合所学过的知识探求；

二是可先猜想，然后证明猜想的正确性.这两种方法都可培养创造性思维.

【训练2】如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明.

解　D点为AA′的中点.证明如下：

取BC的中点F，连接AF，EF，

设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF.

易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA.

因为A′E∥平面DBC′，A′E⊂平面A′EFA，

且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.

在平行四边形A′EFA中，

因为O是EF的中点（因为EC′∥BF，且EC′＝BF），

所以D点为AA′的中点.

[课堂小结]

在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是受具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，遵循规律而不受制于规律，如图是平行关系相互转化的示意图.

基础过关

1.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是（　　）

A.b∥αB.b与α相交

C.b⊂αD.b∥α或b与α相交

解析　当a，b直线所确定的平面与α相交时，b与α相交；

当a，b直线所确定的平面与α平行时，b∥α.

2.下列命题：

①若直线l平行于平面α内的无数要直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.

其中正确的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是错的.

因为直线a在平面α外包括两种情况：

a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是错的.

因为直线a∥b，b⊂α则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是错的.

因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是正确的.

综上，正确的命题的个数为1.

3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则（　　）

A.BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形

B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形

D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形

解析　由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，知EF綊BD，∴EF∥面BCD.

又H、G分别为BC、CD的中点，∴HG綊BD，

∴EF∥HG且EF≠BD，∴四边形EFGH是梯形，故选B.

4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________.

解析　如右图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点.又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.

又∵OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.

答案　平行

5.已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下列说法中：

①a∥c，b∥c⇒a∥b；

②a∥γ，b∥γ⇒a∥b；

③c∥α，c∥β⇒α∥β；

④γ∥α，γ∥β⇒α∥β；

⑤a∥c，c∥α⇒a∥α；

⑥a∥γ，α∥γ⇒a∥α.

其中正确的说法有________（填序号）.

解析　根据平行线的传递性知①正确；

②③显然是错误的；

通过平行平面的传递性知④正确；

⑤⑥中，a可能在α内，所以都是错误的.

答案　①④

6.如图，已知▱ABCD与▱ABEF共边于AB，M，N分别在对角线AC，BF上，且AM∶AC＝FN∶FB.

MN∥平面ADF.

证明　如下图所示，

作MP∥AB交AD于P，NQ∥AB交AF于Q，连接PQ，则MP∥NQ.

由于＝＝＝＝，所以MP＝NQ.

又∵MP∥NQ，∴四边形MPQN是平行四边形，∴MN∥PQ.

又∵MN⊄平面ADF，PQ⊂平面ADF，∴MN∥平面ADF.

7.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，过M作MH⊥AB于点H.求证：

平面MNH∥平面BCE.

证明　∵正方形ABCD中，MH⊥AB，BC⊥AB，

∴MH∥BC.∵BF＝AC，FN＝AM，∴＝.

∵MH∥BC，∴＝，

∴＝，∴NH∥AF∥BE.

又∵MH⊂平面MNH，

NH⊂平面MNH，MH∩NH＝H，

BC⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，

BC∩BE＝B，∴平面MNH∥平面BCE.

能力提升

8.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线.则α∥β的一个充分而不必要条件是（　　）

A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2

C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2

解析　∵m∥l1且n∥l2，又l1，l2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2.

9.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为（　　）

A.16B.24或C.或16D.

解析　画出图形易得＝，当点P在α与β之间时，BD＝24；

当点P在α与β之外时，BD＝.

10.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.

解析　∵EF∥平面ABCD，PQ＝平面PEF∩平面ABCD，∴EF∥PQ，∴DP＝DQ＝，故PQ＝＝DP＝.

答案　

11.如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形.

（1）求证：

CD∥平面EFGH；

（2）如果AB⊥CD，AB＝a，CD＝b且F为AC的中点.求截面EFGH的面积.

（1）证明　∵EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.

又∵EF⊄平面BDC，GH⊂平面BDC，

∴EF∥平面BDC.∵EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面BDC＝DC，∴EF∥DC.

又∵CD⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.

（2）解　同

（1）可证GF∥BA，又AB⊥CD，∴GF⊥EF，

∴四边形EFGH是矩形.

∵F