1、B.内不存在与l平行的直线C.内存在唯一的直线与l平行D.内的直线与l都相交解析直线l不平行于平面,且l,所以l与相交,故选B.4.平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零,则与的位置关系为()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.可能重合解析若三点分布于平面的同侧,则与平行,若三点分布于平面的两侧,则与相交.答案C5.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G,H,则GH与AB的位置关系是()C.异面 D.平行或异面解析由长方体性质知:EF平面ABCD,EF平面EFGH,平面EFGH平面ABCDGH,EFGH.又
2、EFAB,GHAB.答案A6.已知直线a,b,平面,且a.(1)如果a,b相交,那么b与的位置关系是_.(2)如果b,那么b与a的位置关系是_.答案(1)b,或b与相交(2)ba,或b与a相交,或b与a异面题型一利用平行关系的转化证题【例1】 如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是面对角线AB1,BC1上两点,且.求证:MN平面A1B1C1D1.证明法一由“面面平行线面平行”来证明.在平面A1B内,作MKA1B1,交BB1于点K,连接KN(如图).A1B1AB,MKAB.由平行线截线段成比例定理知.而(已知),KNB1C1.A1B1B1C1B1,MKKNK,平面MKN平面A1B1
3、C1D1.而MN平面MKN,MN平面A1B1C1D1.法二添加辅助线,由“线线平行线面平行”来证明.连接BM并延长交A1B1于点P,连接PC1,则可证B1MPAMB,.而(已知),.由平行线截线段成比例定理得MNPC1.而PC1平面A1B1C1D1,MN平面A1B1C1D1,MN平面A1B1C1D1.规律方法常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行,证明线面平行时,可以先转化为线线平行,再根据线面平行的判定定理证明.证明平面与平面平行时,关键是证明直线与平面平行.【训练1】 如图,三棱柱ABCABC中,M、N分别为BB,AC的中点.求证:MN平面ABC.证明取BC的中点P,连接MP,NP,
4、则MPBC,NPAB.因为ABAB,所以NPAB.又因为AB平面ABC,NP平面ABC,所以NP平面ABC.同理MP平面ABC.又因为NPMPP,所以平面MNP平面ABC.因为MN平面MNP,所以MN平面ABC.题型二平行中的探索性问题【例2】 已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD,点E在PD上,且PEED21.在棱PC上是否存在一点F,使BF面AEC?证明你的结论,并说出点F的位置.解如图,连接BD交AC于O点,连接OE,过B点作OE的平行线交PD于点G,过点G作GFCE,交PC于点F,连接BF.BGOE,BG平面AEC,OE平面AEC,BG平面AEC.同理,GF平面AEC.又BGGFG,
5、平面BGF平面AEC,又BF平面BGF.BF平面AEC.BGOE,O是BD的中点,E是GD的中点.又PEED21,G是PE的中点.而GFCE,F为PC的中点.因此,当点F是PC中点时,BF平面AEC.规律方法对于探索性问题,一是可直接运用题中条件,结合所学过的知识探求;二是可先猜想,然后证明猜想的正确性.这两种方法都可培养创造性思维.【训练2】 如图所示,已知正三棱柱ABCABC,D是AA上的点,E是BC的中点,且AE平面DBC.试判断D点在AA上的位置,并给出证明.解D点为AA的中点.证明如下:取BC的中点F,连接AF,EF,设EF与BC交于点O,易证AEAF,AEAF.易知A,E,F,A共
6、面于平面AEFA.因为AE平面DBC,AE平面AEFA,且平面DBC平面AEFADO,所以AEDO.在平行四边形AEFA中,因为O是EF的中点(因为ECBF,且ECBF),所以D点为AA的中点.课堂小结在解决线面、面面平行问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”,而利用性质定理时,其顺序相反,且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意,转化的方法总是受具体题目的条件决定,不能过于呆板僵化,遵循规律而不受制于规律,如图是平行关系相互转化的示意图.基 础 过 关1.已知a,b是两条相交直线,a,则b与的位置关系是()A.b B.b与相交
7、C.b D.b或b与相交解析当a,b直线所确定的平面与相交时,b与相交;当a,b直线所确定的平面与平行时,b.2.下列命题:若直线l平行于平面内的无数要直线,则l;若直线a在平面外,则a;若ab,b,则a;若直线ab,b,那么直线a平行于平面内的无数条直线.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析因为直线l虽与平面内无数条直线平行,但l有可能在平面内,所以l不一定平行于,所以是错的.因为直线a在平面外包括两种情况:a和a与相交,所以a和不一定平行,所以是错的.因为直线ab,b则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面内,所以a 不一定平行于,所以是错的.因为ab,b,所以a或a,所
8、以a可以与平面内的无数条直线平行,所以是正确的.综上,正确的命题的个数为1.3.如图所示,在空间四边形ABCD中,E、F分别为边AB、AD上的点,且AEEBAFFD14,又H、G分别为BC、CD的中点,则()A.BD平面EFGH,且四边形EFGH是矩形B.EF平面BCD,且四边形EFGH是梯形C.HG平面ABD,且四边形EFGH是菱形D.EH平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形解析由AEEBAFFD14,知EF綊BD,EF面BCD.又H、G分别为BC、CD的中点,HG綊BD,EFHG且EFBD,四边形EFGH是梯形,故选B.4.正方体ABCDA1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与
9、过A,C,E三点的平面的位置关系是_.解析如右图所示,连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点.又因为E为DD1的中点,所以OEBD1.又OE平面ACE,BD1平面ACE,BD1平面ACE.答案平行5.已知a,b,c是三条不重合的直线,是三个不重合的平面,下列说法中:ac,bcab;a,bab;c,c;,;ac,ca;a,a.其中正确的说法有_(填序号).解析根据平行线的传递性知正确;显然是错误的;通过平行平面的传递性知正确;中,a可能在内,所以都是错误的.答案6.如图,已知ABCD与ABEF共边于AB,M,N分别在对角线AC,BF上,且AMACFNFB.MN平面ADF.证明如
10、下图所示,作MPAB交AD于P,NQAB交AF于Q,连接PQ,则MPNQ.由于,所以MPNQ.又MPNQ,四边形MPQN是平行四边形,MNPQ.又MN平面ADF,PQ平面ADF,MN平面ADF.7.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,MAC,NFB,且AMFN,过M作MHAB于点H.求证:平面MNH平面BCE.证明正方形ABCD中,MHAB,BCAB,MHBC.BFAC,FNAM,.MHBC,NHAFBE.又MH平面MNH,NH平面MNH,MHNHH,BC平面BCE,BE平面BCE,BCBEB,平面MNH平面BCE.能 力 提 升8.设m,n是平面内的两条不同直线,l1,l2
11、是平面内的两条相交直线.则的一个充分而不必要条件是()A.m且l1 B.ml1且nl2C.m且n D.m且nl2解析ml1且nl2,又l1,l2是平面内的两条相交直线,而当时不一定推出ml1且nl2.9.已知平面平面,P是,外一点,过点P的直线m与,分别交于点A,C,过点P的直线n与,分别交于点B,D,且PA6,AC9,PD8,则BD的长为()A.16 B.24或 C.或16 D. 解析画出图形易得,当点P在与之间时,BD24;当点P在与之外时,BD.10.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP,过点P,E,F的平面与棱CD交于Q,则PQ_.解析EF平面ABCD,PQ平面PEF平面ABCD,EFPQ,DPDQ,故PQDP.答案11.如图,空间四边形ABCD被一平面所截,截面EFGH是平行四边形.(1)求证:CD平面EFGH;(2)如果ABCD,ABa,CDb且F为AC的中点.求截面EFGH的面积.(1)证明EFGH是平行四边形,EFGH.又EF平面BDC,GH平面BDC,EF平面BDC.EF平面ADC,平面ADC平面BDCDC,EFDC.又CD平面EFGH,EF平面EFGH,CD平面EFGH.(2)解同(1)可证GFBA,又ABCD,GFEF,四边形EFGH是矩形.F
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