多变量的函数问题 高考理科数学解答题训练含答案Word文档下载推荐.docx

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又因为当时（当时取等号），则，故实数的取值范围是.

（2）由于目标不等式中两个字母与可以轮换，则不妨设.令，则.

欲证目标不等式

.（※）

根据

（1）的结论知，当时在上递增.又因为，则

，则不等式（※）正确，故原目标不等式得证.

【点睛】

本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、利用单调性证明不等式及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;

②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.

2．已知函数，其中为实常数.

（1）若是的极大值点，求的极小值；

（2）若不等式对任意，恒成立，求的最小值.

（1）

（2）.

【解析】分析：

（1）先根据是的极大值点求得，再求的极小值.

（2）先转化为，再利用导数求，即得解.

（Ⅱ）不等式即为，

所以.

（i）若，则，.

当，时取等号；

点睛：

（1）本题主要考查利用导数求函数的极值、单调性和最值，考查利用导数解决不等式

的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

（2）解答本题的关键有

两点，其一是分离参数得到，其二是利用导数求，需要分类讨论.

3．已知函数f（x）=ax﹣xlna（a＞0且a≠1）．

（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；

（Ⅲ）若对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．

（1）y=1

（2）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；

（3）

（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程，

（2）根据a与1大小分类讨论导函数符号，再根据导函数符号确定单调区间，（3）先将恒成立问题转化为对应函数最值，再根据单调性确定函数最值，通过构造函数解不等式，可得实数a的取值范围．

详解：

解：

（Ⅰ）∵f′（x）=axlna﹣lna=（ax﹣1）lna，

∴f′（0）=0，又∵f（0）=1，∴所求切线方程是：

y=1；

（Ⅱ）当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：

x＞0，令f′（x）＜0，解得：

x＜0，

当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，解得：

故对∀a＞0，且a≠1，f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；

（Ⅲ）记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，

要使对任意x1，x2∈R，

有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2，

只需M﹣m≤e﹣2即可，

根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（﹣1），f

（1）的最大值，

f（﹣1）=+lna，f

（1）=a﹣lna，f（﹣1）﹣f

（1）=﹣a+2lna，

令g（x）=﹣x+2lnx，g′（x）=﹣≤0，

故g（x）在（0，+∞）递减，

对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

4．已知函数，其中．

（1）设是的导函数，讨论的单调性；

（2）证明：

存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．

（1）增，减（0，1）

（2）见解析

（1）解：

由已知，函数的定义域为，

所以

当时，，单调递减

当时，，单调递增

由，解得

令

则

于是，存在，使得

由（Ⅰ）知：

，即

当时，有

由（Ⅰ）知，在区间上单调递增

故：

当时，，

当时，，

又当时，．

所以，当时，.

综上述，存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解

（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性，利用导数研究不等式的恒成立问题和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.

（2）本题解题的关键是构造函数

，证明

存在，使得，再证明存在，使得恒成立，且在区间内有唯一解．

5．已知函数，．

（1）当时，

①若曲线与直线相切，求c的值；

②若曲线与直线有公共点，求c的取值范围．

（2）当时，不等式对于任意正实数x恒成立，当c取得最大值时，求a，b的值．

（1）,

（2），．

【分析】

（1）当时，，所以，①设切点为，列出方程组，即可求得，得到答案；

②由题意，得方程有正实数根，即方程有正实数根，记，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解的取值范围；

②由题意，得方程有正实数根，

即方程有正实数根，

记，令，

当时，；

当时，；

所以在上为减函数，在上为增函数；

所以．

若，则，不合；

若，由①知适合；

若，则，又，

所以，由零点存在性定理知在上必有零点．

综上，c的取值范围为．

（2）由题意得，当时，对于任意正实数x恒成立，

所以当时，对于任意正实数x恒成立，

由

（1）知，，

两边同时乘以x得，①，

两边同时加上得，②，

所以（*），当且仅当时取等号．

对（*）式重复以上步骤①②可得，，

进而可得，，，……，

所以当，时，，当且仅当时取等号．

所以．

本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；

（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；

已知单调性，求参数；

（3）利用导数求函数的最值（极值），解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.

6．已知函数f（x）=x2+1，g（x）=2alnx+1（a∈R）

（1）求函数h（x）=f（x）g（x）的极值；

（2）当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立？

若存在，请求实数k，m的值；

若不存在，请说明理由．

（1）见解析

（2）

（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，根据函数的单调性即可求得极值；

（2）当时，由，当且仅当时，取等号，由，则时，与有公切线，切线方程，即可求得实数的值．

（2）当a=e时，由

（1）知

h（）=h（）=e﹣elne=0

∴f（x）﹣g（x）≥0，也即f（x）≥g（x），当且仅当时，取等号；

以为切点，

f′（）=g′（）

所以y=f（x）与y=g（x）有公切线，切线方程y=2x+1﹣e

构造函数，显然

构造函数

由解得，由解得

本题考查导数的综合应用，考查利用导数的求函数的单调性及最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．