知识点020与二次函数有关实际生活应用Word格式.docx

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要求出铅球推出的距离就是求前脚位置与铅球落点之间的距离，即抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标，只要求出方程=0的根即可.

解答过程：

当y=0时，=0，解得x1=10,x2=-2（不合题意，舍去），铅球推出的距离是10m．

答案：

10m．

规律总结：

解答本题的关键是把求铅球推出的距离的实际问题转化为解一元二次方程的数学问题来求解.

关键词：

二次函数的应用

2.（2012山东济南，21，3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒

本题属于二次函数的实际运用，主要考查学生对抛物线对称性的理解能力．抛物线与x轴的交点到对称轴的距离相等．

根据题意，x=10时和x=26时y值相等，因此得关于a，b的关系式，代入到x=中求x的值．．

解：

当x=10时，y=100a+10b；

当x=26时，y=676a+26b．

根据题意得100a+10b=676a+26b，∴b=－36a

根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下，

所以抛物线的对称轴为x==18，即当小强骑自行车行驶18秒时，到达OC的中点，

所以小强骑自行车通过桥面OC共需36秒．

我们在利用二次函数解决实际的问题时，通常借助函数图像的对称性解决问题，如果需要建立直角坐标系，要注意在建立坐标系时，建立的坐标系，要能使问题简单．

实际问题二次函数的图象二次函数的性质

3.（2012湖北襄阳，15，3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：

m）与滑行时间x（单位：

s）之间的函数关系式是，该型号飞机着陆后需滑行m才能停下来.

【答案】600

本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合可以很快确定答案.

将二次函数配方后可得顶点坐标，其图象为开口向下的抛物线，如下图所示，这个二次函数有最大值，抛物线顶点的纵坐标即为飞机着陆后滑行的最大距离.

对于二次函数，配方得，.

∵，∴y有最大值.

当时，.如下图所示：

观察函数图象可知，该型号飞机着陆后滑行到20s时，达到最大滑行距离600m，这时飞机才能停下来.

故填600.

解答二次函数的应用题，一般需要考虑将二次函数的解析式配方，得到其顶点坐标，或者求出二次函数的图象与两坐标轴的交点坐标，再结合其图象与所求问题，作出回答.

二次函数抛物线顶点坐标

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三、解答题

1.（2012安徽，23，14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x－6）2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？

球会不会出界？

请说明理由；

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．

这是一道二次函数的综合性压轴题，主要考查了用待定系数法确定二次函数的解析式、函数值的求法、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图像及应用．

（1）根据h=2.6和函数图像经过点（0，2），可用待定系数法确定二次函数的解析式；

（2）要判断求是否过球网，就是求x=9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43，则球能过网，反之则不能；

要判断球是否出界，就是球抛物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球不出界，反之就会出界；

要判断球是否出界，也可以求出x=18时对应的函数值，并与0相比较．（3）先根据函数图像过点（0，2），建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含有字母系数h的形式，要求球一定能越过球网，又不出边界时h的取值范围，结合函数的图像，就是要同时考虑当x=9时对应的函数y的值大于2.43，且当x=18时对应的函数y的值小于或等于0，进而确定h的取值范围．

∵点（0，2）在y=a（x－6）2+h的图像上，∴2=a（0－6）2+h，a=，函数可写成y=（x－6）2+h．

（1）当h=2.6时，y与x的关系式是y=－（x－6）2+2.6；

（2）球能越过球网，球会出界．

理由：

当x=9时，y=－×

（9－6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；

当y=0时，－（x－6）2+2.6=0，解得：

x1=6+2＞18，x2=6－2（舍去），故球会出界．

另解：

当x=18时，y=－×

（18－6）2+2.6=0.2＞0，所以球会出界．

（3）由球能越过球网可知，当x=9时，y=＞2.43，

由球不出边界可知，当x=18时，y=8－3h≤0，

由①、②知h≥，所以h的取值范围是h≥．

第

（1）小题是基础题，易于求解；

第

（2）小题是结论探究题，解答此类问题可求当x=9时对应的函数值，并与网高2.43比较，判断球能否过球网，求x=18时对应的函数值，并与0比较，判断求能否会出界，或求y=0时对应的x的值，并与18相比较；

第（3）小题是条件探究题，我们可以从结论球一定能越过球网，又不出边界，结合函数的图像，正确理解球过球网和球不出边界的意义，建立不等式组，从而确定h的取值范围．

二次函数的图像二次函数的性质二次函数的应用

2.（2012湖北黄冈，24，12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元。

在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；

若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元。

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？

（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

（3）该公司的销售人员发现：

当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况。

为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？

（其它销售条件不变）

本题借助实际问题考查了一次函数解析式及二次函数求最值问题.

（1）商家一次购买多少产品时，销售价格为2600元，可采用一次函数来解决.

（2）利润＝销售量×

（销售单价－成本单价），此问题和出租车问题相似，应分0≤x≤10、10＜x≤50和x＞50三种情况来解决.

（3）利用分类讨论思想，分两种情况进行讨论，得出当购买35件时，函数有最大值，若想利润最大，可将35作为自变量的最大值即可，求出此时的单价为2750元.

（1）设商家一次性购买这种产品x件，销售单价为m元，

则m＝3000－10×

（x－10），即m＝3100－10x，当m＝2600时，2600＝3100－10x，∴x＝50件

∴商家一次购买这种商品50件时，销售单价正好为2600元.

（2）y＝

即y＝

（3）a．当0≤x≤10y随x的增大而增大，当x＝10时，y有最大值为6000元，

b．当10＜x≤50，y＝－10x2+700x，y＝－10（x－35）2+12250，当x＝35时，y有最大值为12250元

c.当x＞50时，y随x的增大而增大，无最大值.

综上所述，当商家一次性购买产品件数超过35件时，利润开始减少，要使商家一次购买的数量越多，公司所获利润越大，公司应将购买件数的底线放在35件，此时商品的单价为3100－10×

35＝2750元。

答：

公司应将最低销售单价调整为2750元.

此题是销售过程中的利润最大化的营销策略问题，来源于生活，能很好的考查学生把学习的知识应用于生活实际的能力．同时还是以二次函数为知识背景的数形结合综合题，考查的知识点有通过求利润考查了二次函数解析式的求法、一次函数解析式的求法、函数最值问题等，并较好地渗透数形结合和分类讨论思想．三个问题设计由简单到复杂，逐步提高，呈现良好的梯度．需要考生熟悉二次函数的相关基本概念和配方法即可解题．要注意解题过程的完整性.

二次函数，函数值，自变量，求二次函数解析式、一次函数解析式二次函数的性质配方法函数最值分类讨论建模数形结合

3.（2012湖南长沙，25，10分）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：

（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）

（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？

（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？

若盈利，最大利润是多少？

若亏损，最小亏损是多少？

（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：

一部分为10万元的固定捐款；

另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款。

若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围;

考点剖析：

本题考察了二次函数的应用，学生需要从题目中提取有效信息进而用方程，函数的思想解决实际问题，关键要想到由自变量的取值不同分情况讨论．

（1）由于所定销售单价定为28元，在25元和30元之间，所以其函数关系式为，代入数据即可求出答案．

（2）由于所定销售单价没有确定，所以可能的函数关系式不确定，须分别求出两个函数解析式，并且通过顶点式求出其最值即可进行对比，获得公司做大亏损．

（3）由于所定销售单价没有确定，所以可能的函数关系式不确定，如果利用“两年的总盈利不低于67.5万元”建立一元二次不等式，学生不会解，我们可以利用方程思想来做，即所求出的不同的函数关系式均等于67.5万元时，确定销售单价时再确定其取值范围．

【答案】

（1）当x=28时，y=40-28=12.答：

产品的年销售量为12万件.

（2）①当25≤x≤30时，W=（40-x）（x-20）-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25，

故当x=30时，W最大为-25，及公司最少亏损25万；

②当30＜x≤35时，W=（25-0.5x）（x-20）-25-100=-x2+35x-625