微积分中不等式的证明方法.docx
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微积分中不等式的证明方法
习题课
积分不等式:
1•利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式:
11nA4
例1、证明不等式一"rXdx"—，nZ.
n0x-x+13n
证：
注意在区间［0,1］上有3_x2-X•1_1,=■……
4
11
例2、证明不等式ln（n1）:
:
11lnn.
2n
11
证：
考虑函数f（x）,nEx：
：
n1,n=1,2/,g（x）,x［1,：
：
）.
nx
易见对任何n,在区间［1,n，1］上g（x）和f（x）均单调，因此可积，且有
n:
：
1n:
一
g（x）—f（x）,注意到g（x）=f（x）,就有g（x）dx：
：
f（x）dx.而
11
i11n
」dx八
n1ni1n
f（x）dx='f（x）dx八
1iJiiJ
g（x）dx二
1
n1-
dx
11
综上,有不等式ln（n1）:
:
:
11lnn.
2n
2、某些不等式的积分推广：
原理：
设函数f（x）和g（x）在区间［a,b］上可积.T为区间［a,b］的n
等分分
法,「［Xi」,Xi］.若对任何n和1◎乞n,均有
「fi1岂「gi1，即得「fynyniwnyn
令nr-',注意到函数f（x）和g（x）在区间［a,b］上可积，即得积分不等式
bb
af（x）dx—g（x）dx.
倘若函数门和？
连续,还可由■:
>1^f<1：
宅吐g\1=
"n丿“nJ
例3、证明Schwarz不等式
（亦称为Cauchy-ByH刃kobcku访不等式）:
设函数f（x）和g（x）在区间［a,b］上连续（其实只要可积就可）.则有不
等式
g2（x）dx.
证法一：
（由Cauchy不等式=Schwarz不等式.Cauchy不等式
参阅
［1］上册P4Ex第10题：
设｛az?
…，a.｝和｛db,…，5｝为两组实数,贝U
fny
Eab兰送a：
迟b：
.）
Z丿yy
两端同乘以（b-o,有
n
注意到函数f2（x）、g2（x）和f（x）g（x）在区间［a,b］上的可积
-b"I2b2b2
iff（x）g（x）dx〔证法二：
|aaa
（用判别式法）对任何实数t，有tf（x）g（x）2—0,
[（tf（x）+g（x）fdx=[（t2f2（x）+g2（x）+2tf（x）g（x）dx兰0,即
aa
+2（ff（x）g（x）dx[+fg2（x）dx^0对任何实数t成
b2
f2（x）dx
立.
即上述关于t的二次不等式的解集为全体实数，于是就有
bb2b2
|[f（x）g（x）dx兰（f（x）dx”[g（x）dx.
bbd
f（x）dx上-（b「a）2.aaf（X）
证：
1
取（x）-；/f（x）,■-（x）.对函数（x）和■■■（x）使用
Vf（x）
Schwarz不等式，即得所证.
IfI—0厂.
0
等式
21题）
设T为区间［0,1］的n等分分法.由上述不等式，有
函数Ix|和•.x的连续性，就有积分不等式
仿该例，可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分
形式.例
如［1］P334—335Ex2，6，8.
面积函数的导数
例6
db2dx2
求sinxdx和sintdt.
dxadxa
例7、
F
10dx2
求xetarctgt2dt和一[sin/dt.
xdx0
例8、
七d3tdx
求，t1.
dtt；Inx
例9、
x2
设x_0时函数f（x）连续且.f（t）dt=x3.求f（x）.
0
（f（x）=3”）
2
X3」
例10、
设函数f（x）连续且f（t）dt=xc求c和f（7）.
0
——1
解：
令x“，=c=-1.两端求导，=f（7）=-
F（x）f（t）dtxf（x）-xf（x）f（t）dt,=F（x）=f（x）.a°a
12
例11、
x
设f（x）C[a,b].F（x）=f（t）（x-t）dt,x[a,b].试证
a
明：
F（x）=f（x）.
证：
xx
F（x）=xf（t）dt-：
tf（t）dt,=
a'a
xX..
例12、设函数f（x）在区间［0,•：
：
）上连续且f（x）>0.
x
（x）二
0tf（t）dt
x
0f（t）dt
试证明：
函数（x）在区间（0,内严格递增.
[一xxn
证：
A（x）=2|Xf（x）[f（t）dt—f（x）[tf（t）dtI,而
（0f（t）dt厂1
xx_xXX
xf（x）0f（t）dt-f（x）0tf（t）dt二f（x）0xf（t）dt-0tf（t）dt二f（x）0f（t）（x-t）dt.
f（x）>0,在（0,x）内f（t）（x-t）0，又f（t）（x-t）连续,=
x
0f（t）（x-t）dta0,二在区间（0,）内®"（x）>0.因此®（x）在区间（0,+珀）
内
严格递增•
三、含有变限积分的未定型极限：
X2
x[costdt例13、求极限lim宁
t0sintdt
2JI（
例14、计算积分.l-cos^dx
0
1
例15、计算积分f（x）=.11x-1|dt.
0
1x1
解：
x1时，f（x）=t（x-t）dt=---）23
11x
xvO时，f（x）=[t（t—x）dt;
.x1
0Exm1日寸,f（X）=ot（x—t）dt,t（t—x）dt
因此,
例16、
323
x1
2一3
x：
：
0,
0_x_1,
x1.
2
利用积分Jn二sinnxdx的值（参阅§4例15或[1]P306
0
E8）,计算积分
In二xsinnxdx.
0
解:
ji
In
JIf
31
一一
0
_（二-u）sinn（二_u）du二（二-u）sinnudu二
兀0
JI
udu二■:
sinnudu「In
~2
sinnudu=—o2
Jsinnxdx+（sinnudu,
匹
JI
u却r
0
~2
s
niudun^二
-书
耳兀-nx）dx=Jsnixnd,x
n
0
2
2
o
2
Tt
In二3（JnJn）"Jn•
因此,
产2
（n-1）!
!
円2
—n!
!
2
n
（n-1）!
打
-n!
!
，
n为偶数,
n为奇数.
例17、f（2x1）=xex,求f（t）dt.（2e2）
3
[4]P215E62
例18、设f（x）是区间[-T,T]（T.0）上连续的偶函数.试证明：
是［-T,T］上的奇函数.
原理:
n
例19、求极限lim
[3]
P163E13.
和§
例2连系.
n4
例20、求极限limi丨
nIk.-
n丄
解：
ln［【
_k「
由函数ln（1-x）在区间[0,1]
上可积，有
k、414
=lim'ln1=ln（1x）dx=2ln2-1=In
”n丿n0e
例21、
求极限lim
n—ye
1424n4
n（1323n3）
[3]P167E19
解:
1424亠亠n4
n（1323n3）
n
n4"'
i丄
n
3V.
n'
i二I
fi\
一
4
1
*——
1
_r
屮丿
n
0
f・、
i
3
1
1
—
.一
=[
n
J
0
x3dx
x4dx
n
lim'
n匚i4
n
lim二
—i4
■-0.
因此，
lim333
n匸n（1323n3）
22、
试证明：
对任何n-
Z,有不等式
In2.
证:
111
+十…+
n■1n2nn
是函数f（x）
k1:
：
-
n
—在区间
1■x
上相应于n等分分法Tn的小和s（Tn）.由函数
f（x）=
1在区间[0,1]上可
1
n—'时，s（Tn）/.f（x）dx
0
对任何n,有s（Tn）1
习题：
P309—3102，3,
8—11;
P249—26020—24，41—43，48—51，54，58，63，64，65,
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