微积分中不等式的证明方法.docx

1、微积分中不等式的证明方法习题课积分不等式:1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式:1 1 nA 4例1、 证明不等式一 rX dx ，n Z .n 0 x - x +1 3n证： 注意在区间0,1 上有3 _x2 - X 1 _ 1 , = 41 1例2、 证明不等式ln(n 1) : 1 1 lnn.2 n1 1证：考虑函数 f (x) , n Ex ： n 1, n =1,2/ , g(x) , x 1,：).n x易见对任何n, 在区间1, n，1上g(x)和f (x)均单调，因此可积，且有n:：1 n:一g(x) f (x),注意到 g(x) = f (x),就有 g(x)dx

2、 ： f(x)dx. 而1 1i 11 ndx八n 1 n i 1 nf (x)dx = f (x)dx 八1 i J i i Jg(x)dx 二1n 1 -dx1 1综上, 有不等式ln(n 1) : 1 1 lnn.2 n2、某些不等式的积分推广：原理：设函数f (x)和g(x)在区间a,b上可积.T为区间a,b的n等分分法,Xi,Xi.若对任何n和1 乞n,均有f i 1 岂g i 1，即得f 1 f 1 ：宅吐g 1 = n 丿 “ nJ例3、 证明Schwarz不等式(亦称为Cauchy- ByH刃kob cku访不等式):设函数f(x)和g(x)在区间a,b上连续(其实只要可积就可

3、). 则有不等式g2(x)dx.证法一： ( 由Cauchy不等式 =Schwarz不等式. Cauchy不等式参阅1上册P4 Ex第10题： 设az?,，a.和db,，5为两组实数,贝Uf n yE ab 兰送a：迟b：.)Z 丿 y y两端同乘以(b-o,有n注意到函数f2(x)、g 2(x)和f (x) g(x)在区间a , b 上的可积-b I2 b 2 b 2if f(x)g(x)dx 0.x(x)二0tf (t)dtx0 f(t)dt试证明：函数(x)在区间(0,内严格递增.一 x x n证： A(x)= 2 |Xf(x) f(t)dt f (x)tf(t)dt I, 而(0f(t

4、)dt 厂 1x x _ x X Xxf(x) 0 f (t)dt - f(x) 0tf(t)dt 二 f(x) 0 xf(t)dt - 0 tf (t)dt 二 f (x) 0 f (t)(x - t)dt.f(x) 0 , 在(0, x)内 f(t)(x-t) 0，又 f(t)(x-t)连续, =x0 f (t)(x -t)dt a0 ,二 在区间(0, )内 (x) 0 .因此(x)在区间(0 , +珀)内严格递增三、含有变限积分的未定型极限：X 2x cost dt 例13、 求极限lim 宁t 0 sin tdt2JI( 例14、 计算积分.l-cosdx01例 15、 计算积分 f

5、 (x) = . 11 x -1 |dt .01 x 1解： x 1 时， f (x) = t(x-t)dt = - ) 2 31 1 xxvO时，f (x) = t(t x)dt ;. x 10Exm1日寸,f (X) = o t(xt)dt ,t(tx)dt因此,例16、3 2 3x 12 一3x ： 0,0 _x _1 ,x 1.2利用积分Jn二sin nxdx的值(参阅 4例15或1P3060E8 ),计算积分In 二 xsinn xdx .0解:jiInJIf31一一0_ （二-u）sinn （二 _u）du 二（二-u）sinnudu 二兀 0JIudu 二: sinn uduI

6、n2sinn udu = o 2Jsinn xdx + （sinn udu ,匹JIu却r02sn iudun 二-书耳兀-nx）dx= Js n ix nd , xn022o2TtIn 二 3（Jn Jn） Jn 因此,产 2（n-1）!円2n! 2n（n-1）!打-n!，n为偶数,n为奇数.例 17、 f(2x 1)=xex , 求 f(t)dt. ( 2e2 )34P215 E62例18、设f(x)是区间-T,T (T . 0)上连续的偶函数. 试证明：是-T ,T 上的奇函数.原理:n例19、 求极限lim3P163 E13.和例2连系.n 4例20、 求极限lim i丨n I k .

7、-n丄解： ln 【_k由函数ln(1 - x)在区间0 , 1 上可积，有k、4 1 4=lim ln 1 = ln(1 x)dx = 2ln2 -1 = In” n 丿 n 0 e例21、求极限limnye14 24 n4n(13 23 n3)3P167 E19解:14 24亠亠n4n(13 23 n3)nn4i丄n3V.n i 二 Ifi 一41*1_ r屮丿n0f 、i311.一=n丿nJ0x3dxx4dxnlim n匚i 4nlim 二i 4- 0 .因此，lim 3 3 3n 匸 n(13 23 n3)22、试证明：对任何n -Z ,有不等式In 2 .证:1 1 1 + 十+ n 1 n 2 n n是函数f(x)k 1 :：-n在区间1 x上相应于n等分分法Tn的小和s(Tn).由函数f(x)=1 在区间0,1 上可1n 时，s(Tn) / . f(x)dx0对任何n, 有s(Tn) In 2,1 ln2 . n+1 n+2 n + n习题：P309310 2 ，3,811;P249 260 20 24，41 43，48 51，54，58，63，64，65,