二次函数根及系数关系Word格式文档下载.docx

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②求代数式的值；

③结合根的判别式，判断根的符号特征；

④构造一元二次方程解题；

⑤证明代数等式，不等式；

⑥与一元二次方程的整数根有关的问题．

【例解读】

题1 

（1997·

） 

已知二次方程（ac≠0）有两异号实根m和n，且m<

n，那么，二次方程的根的情况是 

（ 

）

（A）有两个负根 

（B）有两个正根

（C）两根异号 

（D）无实数根

分析 

首先考虑方程的判别式的符号．如果由判别式符号确定方程有实根，还要通过根与系数关系来确定两根的正负号．

解 

∵m，n异号且m<

n，

∴ 

m<

0，n>

0，从而，．

方程的判别式：

，故方程必有两实根．

设这两个实根为，，则由根与系数关系得

，，可知，均为负数，故选（A）．

题2 

上海） 

若a和b是方程的两个实根，c和d是方程的两个实根，e和f是方程的两个实根，则的值为_____________．

由已知可得ab＝3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，将（a-c）（b-c）（a+d）（b+d）展开，把上列数值代入，可得所求值．但若全部展开，结果很繁，因此考虑局部展开，分步代入．

由方程根与系数关系得

ab=3，cd＝3，ef＝3，a+b＝-2p，c+d＝-2q，，则

题3 

（1996·

祖冲之杯） 

已知α，β是方程的两根，α>

β，不解方程，求的值．

待求式中α，β是不对称的，但根与系数的关系具有对称性，应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题．

由根与系数的关系得α+β=7，αβ＝8，

，

．

因α>

β，故，．

记，令，从而

题4 

（2000·

已知，，其中m，n为实数，则__________.

根据两个方程系数的特点，可作恰当的变形，使两个方程具有相同的结构．把两个变元看成关于某个字母的一元二次方程，然后用根与系数关系来求值．

由已知等式可变形成

与，

由于m，的关系没有给定，故应分两种情况：

①当时，；

②当时，可知m，是方程的两个根，则由根与系数关系

得，．

综合①，②得或.

题5 

设的两个实根为α，β，

（1）求以，为根的一元二次方程；

（2）若以，为根的一元二次方程仍是，求所有这样的一元二次方程．

根据方程根与系数关系求和的值，由此即可作出新方程；

根据新方程的一次项系数等于-p，常数项等于q，可求得p，q的值．

（1）由根与系数关系得α+β＝p，αβ＝q，∴ 

，．所求方程是；

（2）由题意得

则

根据七种情况的值依次得以下七个方程：

，，，，，，．

其中仅无实数根，舍去.

故所有这样的一元二次方程有六个，分别为：

，，，，，．

题6 

全国） 

设关于x的二次方程

的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

根据方程系数的特点，可先用十字相乘法求出方程两根，然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后，再求出是的值．

原方程可化为

∵（k-4）（k-2）≠0，∴解得方程两根为

，，

消去k，得，∴ 

由于，都是整数，故

对应的k的值分别为6，3，．

【方法指引】

1．构造对偶式法．对一个已知代数式或一个已知命题，我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题，然后一起参与运算（通常是加、减、乘、除），从而使问题获得巧解．这种方法称为构造对偶式法．常用的构造方法有利用倒数关系、有理化因式、配对等．

2．解一元二次方程的整数根问题的基本方法有：

（1）直接求解法．若根可用有理式表示，则先求出根，再结合整除性求解．

（2）利用判别式法．在二次方程有根的前提下通过判别式确定字母或根的围，运用枚举法讨论，不等式分析求解．

（3）运用根与系数的关系．由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解．

（4）巧换主元法．若运用相关方法直接求解困难时，可选择换主元的方法，结合整除知识求解．

【综合能力训练】

1．△ABC的一边长为5，另两边长恰好是方程的两根，那么m的取值围是________________．

2．设，是方程的两实根，且，则k的值是 

（A）-3或1 

（B）-3

（C）1 

（D）不小于的一切实数

3．若方程的两根为α，β，它也是方程的两个根，则 

p=_____________．

4．若ab≠1，且有，及，则的值是（ 

（A） 

（B） 

（C） 

（D）

5．在Rt△ABC中，∠C＝90°

，若sinA和sinB是方程的两根，求∠A和∠B的度数及k的值．

6．求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程的根都是整数。

参考答案

1．设另外两边长为a、b，则，，因为a，b是实数，所以，即，∴.

由三角形两边之差小于第三边，有

，故m的取值围为。

2．由根与系数关系得 

，，而

由题意得，解得，。

而当时，，无实数根，舍去；

当时，方程的两个实数根为1和3。

故选（C）。

3．由是方程的两根得

.

由是方程的两根，得

，。

两式相减，得 

。

4．原式可变形为，

，又即，

∴a，是方程的两根。

∴，即.

故选（A）。

5．由根与系数关系，得

∵∠A+∠B=90°

，∴。

于是有

由①式两边平方，得。

③

由②、③式知.

又由①、③式可得，是方程的两根，则有，即，故∠A=∠B=45°

6．

（1）若k=0，则方程为，解得符合题意；

（2）若，设方程的两个整数根为，（），则有

①-②得，。

或，

或，k=1。

又当或k=1时，判别式均可得到，∴或k=1。

综上所述，满足条件的所有k的值有三个，分别为k=0，或1。