线性代数全公式 线性代数公式定理总结Word格式文档下载.docx
《线性代数全公式 线性代数公式定理总结Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数全公式 线性代数公式定理总结Word格式文档下载.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
0B
A
B
+Pl®
2+P233+P3
E（i,j（c）“1
I
有关乘法的基本运算
Cij=aiibij+ai2b2j+…+ainbnj
线性性质
（At+民B=A1B+A2B,
A（Bi+B2）=ABi+AB2（cAB=c（AB）=A（cB）
结合律
（ABC=A（BC）
AB|=|A|B
.k.l.k+
AA=A
（Ak}Akl
（AB（=AkBk不一定成立!
A（kE）=kA,（kEA=kA
AB=EuBA=E
与数的乘法的不同之处
（AB；
=AkBk不一定成立!
无交换律因式分解障碍是交换性
一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如
A—2A-3E=（A—3E）（A+E）
无消去律（矩阵和矩阵相乘）
当AB=0时口A=0或B=0
由AH0和AB=0=B=0
由AH0时AB=ACxB=C（无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律。
左消去律：
AB=AC二B=C。
右消去律：
BA=CA=B=C。
如果A列满秩，则A有左消去律，即
1AB=0=B=0
2AB=AC=B=C
可逆矩阵的性质
i）当A可逆时,
TT-11T
A也可逆，且（A）=（A）。
Ak也可逆，且（Ak广
1k=（A」）。
数CHO,cA也可逆,
（cA），二1A」。
c
ii）A,
111
B是两个n阶可逆矩阵二AB也可逆，且（AB）=B’A」。
推论:
设A,B是两个n阶矩阵，则AB=E=BA=E
命题:
初等矩阵都可逆，且
（E（i,j）r=E（i,j）
"
1Pllc丿丿
（E（i（c）））」=Eil-I
（E（i,j（c））F=E（i,j（-c））
准对角矩阵
A11
A22
Akk
每个Aii都可逆，记
A；
A2；
伴随矩阵的基本性质:
当A可逆时,
A*
A——=E
A-1=
IA
（求逆矩阵的伴随矩阵法）
J.
（A*）
Af□.
TT=（a
厂
（A」
X
*=A二（A」j
伴随矩阵的其他性质
1IA*=\A
2（At*=（A*T，
3AB*=B*A*,
⑤（Ak*=（A*k,
In_2
⑥（a**=|a|a。
aa，
n=2时，（A**
=A
fa-b、
Il—cd丿
关于矩阵右上肩记号：
T，
i）任何两个的次序可交换,
如（At*=（A*T，
（A*『NA-1*等
ii）（AB^BTAT^ABf=B^A^
（AB*=B*A*
但（AB）k=BkAk不一定成立!
线性表示
Ptf,
Xi%+%2«
2+…如$叫=P有解
化1巴2，…«
sX=P有解（X=（X1，…,Xsf
Ax=P有解，即P可用A的列向量组表示
AB=C=（ri,「2,…，rs）,A=（set2,…，^
则ri,r2,…，rsT口1,口2,…，〜。
则存在矩阵C,使得
Pl,^2,…'
PtT*^102,…^s，
（Pl,P2,…，Pt）=（%,«
2,…QsC
线性表示关系有传递性
当P1,P2,…，PtT（/1心2,…QsT
r"
…,rp，
则Pi,P2,…，PtT「1,0…,rp。
等价关系：
如
S…0s与p1,p2,…，Pt互
相可表示
%卫2，…,yh,P2,…，Pt
记作a1,«
2,…tts三P1,P2,…，Pt。
线性相关
S=1,单个向量a,xa=0Ct相关uCt=0
==an:
bn
s=2,Ct1,^2相关二对应分量成比例a102相关uai：
bi=a2：
b2
1向量个数s=维数n，则…an线性相（无）关二
A=（%,a2,…On）,Ax=o有非零解二
则％02,…，°
s一定相关
Ax=O的方程个数nc未知数个数S
②如果％,a
Ps无关，则它的每一个部分组都无关
③如果牛宀,
叫无关，而％,%,…，叫，P相关，则Pt…，叫
则其中ChO，否则Ci,…,Cs不全为0，GS
证明：
设c,,…,Cs,c不全为0，使得CQi+…+Csas+cp=0
+■■-+Csas=0，与条件a1,…0s
无关矛盾。
于是
Cs
——J。
C
④当Pt%,…Cs时,
表示方式唯一二
无关
（表示方式不唯一
⑤若Pi,…，PtTs
Qs，并且t>
S，
则Pi,…，Pt—定线性相关。
记AN%,,CtS），B=（P,,'
Pt）,
则存在S"
矩阵C，使得B=AC。
Cx=O有S个方程，t个未知数，set,有非零解n,cn=o。
则=ACn=0，即n也是Bx=0的非零解，从而氏,…，^线性相关。
各性质的逆否形式
①如果
…,«
s无关，则s<
n。
②如果
%炉2,…，叫有相关的部分组，则它自己一定也相关。
③如果
cts无关，而PT"
%,…，叫，则％，…，比卩无关。
⑤如果
Pi…PtT円…叫，
打…Pt无关，则t<
s。
推论：
若两个无关向量组^1
叫与Pj'
Pt等价，则S=t。
极大无关组
一个线性无关部分组（I），若#
（1）等于秩ai,a2,a4,a6T（I）,（I）就一定是极大无关
1a1,^2,…0s无关二Y（%,02,…，J）=s
2PT"
SUU丫（％,口2厂’，5用）=丫仙,…0
另一种说法：
取％卫2,…的一个极大无关组（I）
（I）也是a1,«
2,…，as,P的极大无关组吕（l）P相关。
Pt旳,…ps二Pt（I冷（I）P相关。
邛…0s）PtS…Us
Y（%,…Ps）+1,P-A旳,…Qs
3P可用a1,…，％唯一表示二丫01,…,J,P）=Y01,…，5）=s
④Pi,…，PtT%,…QsUY（%,…，叫用1,…，Pt）=Y01,…0s
=Y（Pi,…，Pt庐丫（％，…Qs
⑤％，…、叫三氏,…,AU丫（％,…，叫）=丫（％…叫，氏…Pt）=丫（01，…，卩t）矩阵的秩的简单性质
0<
r（A）<
miKm,n〉
r（A）=O=A=0
A行满秩：
r（A）=m
A列满秩：
r（A）=n
n阶矩阵A满秩：
r（A）=n
A满秩二A的行（列）向量组线性无关
Aho
UAx=0只有零解，Ax=P唯一解。
矩阵在运算中秩的变化
初等变换保持矩阵的秩
①rgT）=r（A）
2C工0时，r（cA）=r（A）
3r（A±
B）<
r（A）+r（B）
4r（AB）<
min{r（A）r（B》
5A可逆时，r（AB）=r（B）
弱化条件：
如果A列满秩，则Y（AB）=Y（B）
证：
下面证ABx=0与Bx=0同解。
n是ABx=0的解二ABE=0
=Bn=0un是Bx=0的解
B可逆时,
r（AB）=r（A）
⑥若AB=0,
则r（A）+r（B）兰n（A的列数，B的行数）
⑦A列满秩时
r（AB）=r（B）
B行满秩时
⑧r（AB）+n屮A）+r（B）
解的性质
1.Ax=0的解的性质。
如果叫亠，…，戈是一组解，则它们的任意线性组合
C?
^C^2
+CJe—定也是解。
=0=A（c〕十C2H2+…+cJe）=0
①如果©
1,匕2,…，匕e是Ax=P的一组解，则
c/i+c25+…+c/e也是Ax=P的解二0+C2+…+ce=1
cc1+C2J十…+Ce%是Ax=0的解二s+q十…十Ce=0
A—Ppi
A（Ci匕1+C2匕2十"
+Ce匕e）=CiA匕1+C2AE2中"
+CeAEe
=（C1+C2+…+Ce护
特别的：
当是Ax=P的两个解时，匕1—J是Ax=0的解
②如果J是Ax=P的解,
的解。
解的情况判别
方程：
Ax=P，即x1ct^x^2
中…+x^n=P
有解
=Pt«
1卫2,…Qn
二Y（A|P）=Y（A疫
丫紅1,5,…卫n,P）=丫紅1宀,…S
无画二y（A^>
7（A）
可二^（AlP）=Y（A）=n
无穷多解
则n维向量匕也是Ax=P的解二©
—匕0是Ax=0
UY（A|P）=Y（A）<
n
方程个数m:
Y（A|P）兰m,Y（A）兰m
①当Y（A）=m时，Y（A|P）=m，有解②当口＜:
门时，丫（人）＜门，不会是唯一解
对于齐次线性方程组Ax=0,
只有零解二■¥
#）=n（即A列满秩）
（有非零解二Y（A）＜n）
特征值特征向量
几是A的特征值U几是A的特征多项式
xE—A的根。
两种特殊情形：
（1）A是上（下）
三角矩阵，对角矩阵时,
4.
特征值即对角线上的元素。
几2
=（x-A1Ix-SIx®
（2）r（A）=1时：
A的特征值为0,0，…，O,tr（A）
特征值的性质
命题：
n阶矩阵A的特征值Z■的重数＞n-r@E-A）
设A的特征值为入iA2,…,h
n,则
②A1+A2+…+An=tr（Aj
设n是A的特征向量，特征值为
①对于A的每个多项式f（A）,
f（Ap=f（xP
1
②当A可逆时，
设A的特征值为入1,心,…，几
①f（A）的特征值为f仏I）f仏2
广，fGn）
②A可逆时，A」的特征值为
A*的特征值为
③A的特征值也是入1,几2；
-An
特征值的应用
①求行列式IA1=A仆A2，…，扎
②判别可逆性
入是A的特征值二I几E—a|=0ua—aE不可逆
A-AE可逆u扎不是A的特征值。
当f（A）=0时，如果f（c）=0，贝U
升级会员 