线性代数全公式 线性代数公式定理总结Word格式文档下载.docx

1、0 BAB+ Pl2 +P233+P3E（i,j（c）“1I有关乘法的基本运算Cij =aiibij +ai2b2j + +ainbnj线性性质（At + 民 B=A1B +A2B ,A（Bi + B2 ）= ABi + AB2 （cAB =c（AB ）= A（cB ）结合律（AB C = A（BC ）AB| =|A|B.k .l . k +A A =A（Ak Akl（AB （ =AkBk不一定成立!A（kE ）= kA , （kE A = kAAB = E u BA = E与数的乘法的不同之处（AB；= AkBk不一定成立!无交换律 因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例

2、如A 2A-3E =（A3E ）（A + E ）无消去律（矩阵和矩阵相乘）当 AB = 0时口 A = 0或 B=0由 AH0和 AB =0= B=0由AH0时AB=ACx B=C （无左消去律） 特别的设A可逆，则A有消去律。左消去律：AB = AC二B = C。 右消去律：BA = CA=B=C。如果A列满秩，则 A有左消去律，即1AB =0= B =02AB = AC = B = C可逆矩阵的性质i ）当A可逆时,T T -1 1 TA也可逆，且（A ） =（A ）。Ak也可逆，且（Ak广1 k = （A）。数CHO, cA也可逆,（cA），二1 A。 cii） A,1 1 1B是两个n

3、阶可逆矩阵二AB也可逆，且（AB） = BA。推论:设A , B是两个n阶矩阵，则AB = E= BA = E命题:初等矩阵都可逆，且（E（i,j）r =E（i,j ）1P llc丿丿（E（i（c）=E il- I（E（i,j（c）F =E（i,j（-c）准对角矩阵A11A22Akk每个 Aii都可逆，记A；A2；伴随矩阵的基本性质:当A可逆时,A*A=EA-1 =IA（求逆矩阵的伴随矩阵法）J.（A*）A f .TT = （a厂（AX* = A二（Aj伴随矩阵的其他性质1I A*=A2（At * =（A* T，3AB* =B* A*,（Ak* = （A*k ,I n_2（a*=|a| a。a

4、a，n=2时， （A*=Af a -b、I lc d 丿关于矩阵右上肩记号：T，i）任何两个的次序可交换,如（At * =（A* T，（A*NA-1 * 等ii） （AB BTATABf =BA（AB * =B* A*但（AB ）k =BkAk不一定成立!线性表示Pt f,Xi% +%22 +如$叫=P有解化1巴2，s X = P 有解（X =（X1，,Xs fAx = P有解，即P可用A的列向量组表示AB =C =（ri,2,，rs ）, A = （set2,，则 ri,r2,，rsT 口1,口2,，。则存在矩阵C ,使得Pl, 2,Pt T *102,s，（Pl,P2,，Pt ）=（%,2

5、,Qs C线性表示关系有传递性当 P1, P2,，Pt T（/1心2,QsTr,rp，则 Pi, P2,，PtT1,0,rp。等价关系：如S0s与p1,p2,，Pt互相可表示%卫2，,y h, P2,，Pt记作a 1,2,tts 三 P1, P2,，Pt。线性相关S = 1,单个向量a , xa = 0 Ct相关u Ct = 0= =an :bns=2 , Ct 1,2相关二 对应分量成比例 a 102相关u ai：bi=a2：b21向量个数s=维数n，则an线性相（无）关二A=（%,a2,On ）, Ax = o有非零解二则02,，s 一定相关Ax=O的方程个数nc未知数个数S如果,aPs无

6、关，则它的每一个部分组都无关如果牛宀,叫无关，而,%,，叫，P相关，则Pt ，叫则其中C hO，否则Ci,Cs不全为0，GS证明：设c,Cs,c不全为0，使得CQi +Csas +cp =0+- +Csas =0，与条件 a 1,0s无关矛盾。于是Cs J。C当Pt %,Cs时,表示方式唯一二无关（表示方式不唯一若Pi,，PtT sQs，并且 t S，则Pi,，Pt 定线性相关。记 AN%, , Ct S ），B = （ P, Pt ）,则存在S矩阵C，使得 B = AC 。Cx=O有S个方程，t个未知数，set,有非零解n , cn=o 。则=ACn =0，即n也是Bx=0的非零解，从而 氏

7、,，线性相关。各性质的逆否形式如果,s无关，则s n。如果%炉2,，叫有相关的部分组，则它自己一定也相关。如果cts无关，而 P T%,，叫，则，比卩无关。如果PiPtT円叫，打Pt无关，则ts。推论：若两个无关向量组 1叫与Pj Pt等价，则S=t。极大无关组一个线性无关部分组（I ），若#（1 ）等于秩ai,a2,a4,a6T （I ）, （I ）就一定是极大无关1a 1,2,0 s 无关二 Y （%,0 2,，J ）=s2P T SUU 丫（,口2厂，5用）=丫 仙,0另一种说法： 取卫2,的一个极大无关组（I ）（I ）也是a 1,2,，as,P的极大无关组吕（l）P相关。Pt旳,ps

8、二Pt （I冷（I ）P相关。邛0s ）Pt S UsY（%,Ps ）+1,P -A 旳,Qs3P可用a 1,，唯一表示二丫 01,J,P）=Y 01,，5 ）=s Pi,，PtT %,QsU Y（%,，叫用1,，Pt ）= Y01,0s=Y（Pi,，Pt 庐丫（，Qs，、叫三氏,A U 丫（,，叫）=丫（叫，氏Pt ）= 丫（01，卩t） 矩阵的秩的简单性质0 r（A ）mi Km,nr（A）=O= A=0A行满秩：r（A）=mA列满秩：r（A）=nn阶矩阵A满秩：r（A）= nA满秩二 A的行（列）向量组线性无关AhoU Ax =0只有零解，Ax = P唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换

9、保持矩阵的秩 rgT ）=r（A）2C 工 0 时，r（cA）=r（A）3r（AB ）r（A）+r（B ）4r（AB ）7（A ）可二 （Al P ）=Y（A）= n无穷多解则n维向量匕也是Ax = P的解二 匕0是Ax = 0U Y（A| P ）=Y（A）n方程个数m :Y（A| P ）兰 m,Y（A ）兰 m当Y（A）=m时，Y（A|P）=m，有解当口:门时，丫（人）门，不会是唯一解对于齐次线性方程组 Ax = 0,只有零解二#）= n （即A列满秩）（有非零解二 Y（A） n）特征值特征向量几是A的特征值U几是A的特征多项式xE A的根。两种特殊情形：（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵

10、时,4 .特征值即对角线上的元素。几2= （x-A1 Ix-SIx（2） r（A）=1 时：A的特征值为 0,0，O,tr（A）特征值的性质命题：n阶矩阵A的特征值Z的重数n-rE-A）设A的特征值为入iA 2,hn,则 A 1 + A 2 + A n = tr （A j设n是A的特征向量，特征值为对于A的每个多项式f（A ）,f（Ap = f（xP1当A可逆时，设A的特征值为入1,心,，几f（A ）的特征值为f仏I）f仏2广，fGn）A可逆时，A的特征值为A*的特征值为A的特征值也是入1,几2；-An特征值的应用求行列式I A 1= A仆A 2，扎判别可逆性入是A的特征值二I几Ea|=0u a aE不可逆A - A E可逆u扎不是A的特征值。当f（A）=0时，如果f（c）=0，贝U