J2Ji
从而
士区15“卜害，
{-?
rul
3
（2）
综合
（1）和
（2）得
2
即，矩阵虫2仍是严格对角占优阵。
9.设毗弊”有三角分解。
指岀当把Gauss消去法应用于"％⑺+1）矩阵也，引时，怎样才能不必存储厶而解岀Av=Z>?
需要多少次乘法运算？
［解］用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将英化为上三角矩阵U。
而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是即
^A=U
如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有
这就是说，方程组A^=b和吩Lb是同解方程。
而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1-1-2求解。
这样我们就不必存储L,通求解方程组4=匚咕，来求解原方程组Ax=ba算法如下：
（1）用初等变换化册］为耳已】；
for上=1:
怡一1
4（上+1:
徭4（上+1:
凤&）/43用
月（上十1:
冷上十1:
2i）=A（k+1:
刃北十1:
«）一A（k+1:
十1:
刃）
b伙十1:
n）=6（^+1:
«）-&上十1:
n,k）b（k）
snd
（2）利用回代法求解方程组5=匚'—
该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为
£（3上十2瓷打十/=2/+2«2--«
fc-i33
10.A是正泄阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为
WA_
的矩阵，证明地仍是正定阵。
［证明］不妨设
从而有
如°
.0A-
由于厶非奇异，故对加且“°,构造"3歹卩二閉元，则由a的正立性有
0
Ai
.Ai
k
并且A】是非奇异的。
矩阵
S=Aa_414^12
称为是41在a中的Schur余阵。
证明：
如果41有三角分解，那么经过丘步Gauss消去以后，S正好等于（1-1-4）的矩阵期铁
［证明］因为占】有三角分解，所以矩阵A可保证前丘步Gauss消去法可以顺利完成。
即有如下单位下三角矩阵
L=
£
o・
厶22-
k
）2-k
使
<1上
LA=
_0
k
A3_上
注意到
比较两式便知，A2i=,故有
观"=&2-
12.证明：
如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU,则对任意‘有祐胆幅|，丿"+1,…
［证明］略。
13.利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。
［解1设A是非奇异的.则应用列主元Gauss消去法可得到
PA=LU
这里：
P是置换阵，L是单位下三角阵，U是上三角阵。
于是，通过
求解下列n个方程组
£27巧二幻，j=1,2,-・•，绘
便可求得
（刊）-】二才¥二［“，・・沁］
于是
=［心,也,・・・兀］卩
也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行:
（1）用列主元Gauss消去法得到：
.
（2）经求解：
小严厂j=\,2,得
（R4）-i=X、Xw
■
（3）对X进行列置换得：
衣。
14.假定已知国亡尺冶筑的三角分解：
A=LU.试设计一个算法来计算/_1的J）元素。
［解］求解方程组
LUx=
贝心的第i个分疑召就是/-I的（ij）元素。
15.证明：
如果Ar是严格对角占优阵（参见第8题），那么
A有三角分解A=LU并且＜k
［证明］仿照第8题的证明，容易证明：
对于屮€疋^是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到
苴中禹丘卅"7仍是严格对角占优阵。
A的三角分解A=LU中
这样，我们在对A进行列主元三角分解时，不需要选择主元，因为每次消元时，主元位置上的元素恰好是列主元。
因此，
16.形如NOW—%的矩阵称作Gauss-Jordan变换，其中
（1）假左"3用）非奇异，试给出计算英逆矩阵的公式。
（2）向量X已疋满足何种条件才能保证存在丿GRK使得
■
（3）给岀一种利用Gauss-Jordan变换求刈e尺浴"的逆矩阵/"的算法。
并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底。
［解］为解决本问题，我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质：
性质1:
畑（弘）二1-丹.
事实上.
_儿
性质2：
Gauss-Jordan变换％二恥儿比）非奇异的充分必要条件是九H1
■
⑴运用待立法，首先设"X）二J陀的逆矩阵为M（乙上）-1-，则有
'=应匕QN（y,k）=（l-応）（2-扇■）=2-堆：
一海十试兀；
=/-（y+x-y）腔
故应有
（2）欲使"3出k二致，则应有
厂如仏=工…，邑,1-丄独,…，玉
因此，x已疋应满足％*°,便可按上述方法得到yERK使得N（yfk）x=ek
O
（3）设A的逆矩阵川二『二忆爲，…耀],则应有
=efr/=],—,».
下而我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法。
算法如下：
假定A的各阶主子阵非零,记测=&丁®=1■
第1步：
假若屍令沪卜则役增/址，…,規蚀r,构造陌=”5,1）,用陌左乘肿和网，得到
炉=昭肿,f⑴二砒（°）;
其中
（1）⑼时（0）.-.?
'an
第2步：
假泄令
”2=（雄"a22'1-1/埸,C2f32/fl22'…'爲/a22Y,构造“2=肿卜22）,用“2左乘占⑴和厂⑴，得到
川2\皿』⑴，
苴中
圈?
=令，J=3,
^22
一冷碣），2134,…"八3,…，丘^11
a*1）,a
照此下去，直到第n步：
假宀KU,
儿二优®或巴…，煜血「）」-1/盘叭构造M=Ng
用弘左乘川曲）和得到
经上述】】步，我们得知：
―叽心…叫A,丹）二见…皿
故
卫-1=
从上面的约化过程可知，要保证算法进行到底，必须保证：
@『）疋0,71，…，踐我们可以仿照泄理1.1.2给出下列泄理。
定理：
壬°，曲二1，…冷）的充分必要条件是矩阵川的各阶顺序主子阵非奇异。
Gauss-Jordan变换弘~】使
［证明］对于氐用归纳法。
当=1时，卫1二屍V,左理显然成立。
假定宦理直到址一1成立，下面只需证明：
若A，・・・，4・i非奇异，则4非奇异的充要条件是*0即可。
由归纳假九知朮°，‘=1，…比一】•因此，Gauss-Jordan约化过程至少可以进行広一1步，即可得到龙一1个
h-i
0由此可知如I的氏阶顺序主子阵有如下形式
0
若将％N-的庄阶顺序主子阵分别记为何）上，…，（％A,由（16-1）知
（N』…的）皿=曽「J
=—7^7-,i=•，上一1.
注意到久所以
det血=ri同严.
i-1
即血非奇异的充要条件是“匸"芝°
17・证明左理1・3・1中的下三角阵L是唯一的。
［证明］因A是正泄对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此A非奇
A=Z/f=丄怎
那么
注意到：
厶和厶是下三角阵，圧和耳为上三角阵，故它们的逆矩阵
也分别是下三角阵和上三角阵。
因此，X®和閉©尸只能是对角阵，即甲乙2二疔区厂'0
从而
gLR=£J=Zf（Z）ZfrL=Z）-1,D=D
于是得知
Z>2=厶］
18•证明：
如果A是一个带宽为2加+1的对称正泄带状矩阵，则其
Chelesky因子厶也是带状矩阵。
厶的带宽为多少？
［证明］带宽为2m+l的矩阵的认识:
当m=l时，2m+l=3,该带宽矩阵形为：
xx
XXX
XXX
XXX
对m为任意一个合适的正整数来说，带宽为2m+l的矩阵元素有如下特征：
%•二0,j|>m
结合这一特征，对于带宽为2加+1的对称正定带状矩阵A1•的Colicky分解算法，可改写成下列形式：
fork=\\n
k）=/43Q
堆1=tnm（
怒+］：
”1,Q=卫也+1：
同,耐//（上,£）
for/=4-1;«1
^4（j:
«1,j）=^4（j:
«1,j）-j:
«1,Ar）71（J,
end''
end
从算法不难看出：
Colicky因子L是下三角带状矩阵，L的带宽为m+L
19.若/=茁是八的Cholesky分解，试证厶的f阶顺序主子阵厶正好是A的：
阶顺序主子阵△的Cholesky因子。
［证明］将A和L作如下分块
Aio
.^215
A=\AlAn］,L
_A1月22」
其中：
Al.厶I为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。
思1=虫12。
显然
—「—r--1f
_Al4'
_A1乂22-
上21£；」［厶&:
^21^21+^22^22_
故有41=Zn£u0即厶1是41的Colicky分解。
20.证明：
若AeR^是对称的，而且其前円-1个顺序主子阵均非奇异，则A有唯一的分解式
A=LDLt
其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵。
［证明］先证明存在性。
根据泄理1・1・2知，存在单位下三角阵L和上三角阵U,使八=口），且U的主对角线上元素除叫”外，其余都不为零。
令D二〃吨（码1，…屮“小％）,则有单位上三角阵J7使U=DU，即有
A=LDU
又因为4,贝J
LDU=护亦
从而根据L和疗的可逆性知：
。
庁（厂）"=I71GtD
该等式左端是一个上三角阵，右端是下三角阵。
因此它们等于对角阵。
再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵，单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。
因此两端都等于D。
于是
农（厂）一】=旷0=；,B卩if=u
从而有
A=LDlJ
了了
再证唯一性。
令a=l»L\=565,故有
£扌厶D］=°2圧（疥）》。
左边为下三角阵,右边为上三角阵，故等于对角
阵。
又因=Zf（£；）'=*,故Li=L29D\=D「
21.给岀按行计算Cholesky因子L的详细算法。
［解］略。
22.利用改进的平方根法设计一种讣算正泄对称矩阵的逆的算法。
［解］算法可分为以下几个步骤：
（1）首先利用算法1-32计算岀正左矩阵的如下分解
A=LDlJ其中，L是单位下三角阵，D是对角阵。
（2）求解矩阵方程
LX=苴解矩阵X=L.
（3）求解矩阵方程
DY=Xr
其解矩阵尸=•
（4）求解矩阵方程
ArZ=X,
其解矩阵"9曲尸=八
［注意］以上
（2）、（3）.（4）步都是求解非常简单的方程组，算法实现起来很容易。
23•设
_16
4
8
4_
'32'
4
10
8
4
b=
26
8
8
12
10
7
38
4
4
10
12.
30_
用平方根法证明A是正左的，并给岀方程组的解。
［解］由Colicky分解可得
A=LL
其中
4
13L=
2221131
显然，L是非奇异矩阵。
因此，对于是
xrA^=t7LlFx=>0
所以乂是正泄的。
由方程组Ly=b,解得^=（w,i）r,再由方程组,解得D,i,i）：
24•设A^iB是一个正泄Hermite矩阵，其中4必丘•证明：
矩阵
V-B
C=
BA
是正泄对称的。
试给岀一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组
（卫斗拓）（兀+眇）=0+兀1兀刀爲&&R"・
［解］既然肝"十迢是正泄的，又对有z=^+iy,xeRx,ywF,（（2*=-iyTzH0u＞或乳圣0,或y羊0.注总到
z'念=（J一费『）（/+35）（x+iy）=（xrAx+yTAy）+3（xr5x+/^）
显然H正等价于A、B正立。
对L"（”yyw炉，则有zrCz=^r,yr）；；］；卜;/加+/*血
由前面的讨论，知道若H是正泄的，则A是正泄的，故矩阵C是正定的。
由于
（虫七£）匕+少）=（4x_砂）+江血+玄）
于是求解原复数方程组，等价于求解下列实方程组
其矩阵形式为:
{Ax-By=b
4^+Bx=c
朋］
由
（1）得知系数矩阵正左，故该方程可采用平方根算法求解C习题2
2.1设%~宀0是灯个正数。
证明：
由
1（丸\—
V-1丿
定义的函数化R：
TR是一个范数。
证明只需验证讯力满足左义2.1.1的三个条件。
其中
（1）和
（2）,即正左性和齐次性显然成立，下而给出（3）三角不等式的证明。
像2范数的证明一样，要证明三角不等式，需要用到Cauchy-Schwartz不等式
»
2-1
<
为汙Zz2
U-17\i-l7
R\
欲证明这个不等式，只需证明：
对任意的x^eR\有下列等式成立
2＞必I=另才$£（2厂刃®y,
匕i・l/-I
用数学归纳法证明。
当茂==1时，等式显然成立。
不妨归纳假设当力《k时，等式仍然成立，即有
k\/AVkXIfcA
必=S^2-于亍亍Sj-/內几
■】,■】八7-1f/,■】?
（E2.1）
现在来考虑〃"十1时的情形,注意到
从而对x^eRS,我们有
1f«¥
v（x+y）=乞企⑴+yj2MJ丿
士务氏+2J>皿必+$
-1
<（v2（x）+2v（x）-v^y）+v2=y（x）+v（y）・
2.2证明：
当且仅当兀和》线性相关且x时，才有
lko||2=lkUH.
证明因为对任意的x^eR"
||“训:
*+刃匕*）二A+C+八+心斗壯2/>+|恻;
于是，
lko||2=lkUH
当日但当
忖伽12“
由等式（E2.1）可知，”八恻朋2当且仅当
乞左3片—”疔=0
沁J-L.
即，对任意的°幻丁喳检心号二必心，此式成立不外乎二种情形:
或兀=0；或尸0：
或加+朋丸且圈+怡冋肿和y线性相关。
2.3证明：
如果，二【內，勺，…卫”］是按列分块的，那么
|应十』；+|就”卄总
证明因为
»0»»owi>zM=ezH
/-Ii-1
2・4证明：
I的胡1411%和网訣IK网2・
证明记"二［%易…心］,那么，根据第3题的结果我们有
・1丄
K彳訥町利制:
钏:
卜制肌
根据Frobenius范数泄义易知，对
恥孙』们厂皿I旳厂佩于是
㈣厂1严绷侶1巩IK井胴厂帆佩•
2.5设V：
RgTR是由
◎二器|臥恥铲
定义的。
证明内=是矩阵范数，并且举例说明y不满足矩阵范数的相容性。
证明
（1）证明pl=w是矩阵范数。
因为
V1（A）=-maKl^,TeR呗
显然VL满足矩阵范数左义中的前三条：
正左性、齐次性、三角不等式。
下而我们证明力还满足“相容性二对任意4毗R：
记，二仏/）,
a=max
b=max务
%（/）=—a则«
叶脚）=g扎<-睹zhA-l
1«11
<-y\ab=-a^-b=v1（A）^l（Bynx-i««
（2）一个V不满足矩阵范数的相容性的例子。
取«=2,
11
21
2.6证明：
在R”上，当且仅当乂是正定矩阵时，函数，（力二伊乂尤”是一个向星范数。
值,
证明由于A是正定矩阵，不妨设°%兰人兰…乞血是A的特征—…也是其对应的标准正交特征向量，即
心曙,宀1,2,…屮.
护®二备2』=12…卫
显然，―鼻…盒是线性无关的。
因此，R"=span{j鼻…红}.记"必屆・・・剧,A二険（“・・・人）,那么0007,4创少，且对任意^疋，总有牙已疋使
x=Q无，=
■
命题的充分性是很显然的。
因为了匕）=*是尺"上的向量范数,
则由其正定性可知A必为正定矩阵。
现在我们来证明命题的必要性。
即假设H是正定矩阵，则函数
扌任）=X'xp满足向量范数立义的三条性质：
正泄性。
由A的正泄性，正定性显然成立。
齐次性。
对任意的"R”，xR,因为G*仏戸=0加屈2,故有/（加）=|创/0）
三角不等式。
对于任意给左的禺ywR：
有元,歹丘疋，使恋+刃=J（X+刃J（X+刃=J（牙+刃？
000（牙+刃
=J（牙+刃『八（天+刃=
应用习题2」的结果，得
占人（瓦+另『兰启人才
=7Faj+^faJ
=鼾qTX+7/纱0、
==/W+/W即有
/仗+刃M/U）+«/（》）•
2.7设忡是尺漩上的一个向量范数，并且设AeRKX\证明：
若
r皿（&F,则HL—HI是时上的一个向量范数。
证明片!
■皿（占）二"时，当且仅当兀是R”上的零向量。
再由假设IHI是上的一个向量范数，于是可证得虬胡PH满足：
正泄性。
事实上，对任意X&R”，虬二⑷恬°,而且kL-IkM二°当且仅当"o
齐次性。
事实上，对所有的X&R”和“€尺有l#o）ll二||轴||=|唧如因此加礼二I^HL.
三角不等式。
事实上，对所有的z^eRJi有
|如+列=|曲+则刮曲||+阴||,因此有Ik+此乞WL+IML-
2.8若渕□且”||i,证明
I卜命
证明首先用反证法，证明—的存在性。
设（'—/）奇异，则
（/-如二0
有非零解心且—似，于是°VkH纲到绷刘,从而II恥I这与假设矛盾。
现在来证明命题中的不等式。
注意到：
"1二1,且/=（/-&（』_4）一1=（7-J）-1-
故有
1=||（/--馳_&」||2||（Z-&"||（1-||4
即
2.9设ILII是由向量范数11.11诱导出的矩阵范数。
证明：
若AeR，，，!
非奇异，则
Kir=^1^11
证明因为II川是向量范数诱导的矩阵范数，故11111=1.且对VGeRlut和
x已R”，有IIGxll11x11=卜％卜阿|||加||
且当11x11=1时，有
（E2.2）
现在只需证明：
存在A-eR"且11x11=1,使||A-1!
!
-1=||A.r||即可。
根据算子范数的泄义，我们不妨假设yeRn且llyll=l,使|的|=卜划|.再取X=^/KIL显然帕，且
Kir=igi?
iM
2.10设―曲是曲亡朗“的LU分解。
这里设贰和时分别表示乂和/的第$行，验证等式
并用它证明网L'才羽I
［解］记
于是a^=^U=^l^,?
=1,2,
J・1
注意到：
严二卩"…儿…则有
2-1=ai-乞
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