届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第7讲二次函数与幂函数精选教案理Word下载.docx
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一般地,函数__y=xα__叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
2.几个常用的幂函数的图象与性质
定义
幂函数y=xα(α∈R)
图象
α>
α<
性质
图象过点__(0,0)__和__(1,1)__
图象过点__(1,1)__
在第一象限内,函数值随x的增大而增大,即在(0,+∞)上是__增函数__
在第一象限内,函数值随x的增大而减小,即在(0,+∞)上是__减函数__
在第一象限内,当α>
1时,图象下凹;
当0<
1时,图象上凸
在第一象限内,图象都下凹
形如y=x或y=x-(m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断:
当m,n都为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数;
当m为奇数,n为偶数时,幂函数在定义域上为非奇非偶函数;
当m为偶数,n为奇数时,幂函数在定义域上为偶函数
3.二次函数解析式的三种形式
(1)一般式:
f(x)=__ax2+bx+c__(a≠0);
(2)顶点式:
f(x)=__a(x-h)2+k__(a≠0);
(3)零点式:
f(x)=__a(x-x1)(x-x2)__(a≠0).
4.二次函数的图象与性质
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别是:
(1)对称轴:
x=!
!
- ###;
(2)顶点坐标:
###;
(3)开口方向:
a>
0时,开口__向上__,a<
0时,开口__向下__;
(4)值域:
0时,y∈!
###,a<
0时,y∈____;
(5)单调性:
0时,f(x)在!
###上是减函数,在____上是增函数;
a<
0时,f(x)在上是__增函数__,在上是__减函数__.
5.二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2+bx+c=0的__根__,也是一元二次不等式ax2+bx+c≥0(或ax2+bx+c≤0)解集的__端点值__.
6.二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值,它只能在区间的__端点__或二次函数的__顶点__处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×
”).
(1)函数y=2x是幂函数.( ×
)
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(3)当n<
0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.( ×
(4)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[m,n]的最值一定是.( ×
解析
(1)错误.不符合幂函数的定义.
(2)正确.因为图象与坐标轴相交,则由x=0得y=0,若y=0,则得x=0.
(3)错误.幂函数y=x-1在定义域上不单调.
(4)错误.当-∉[m,n]时,二次函数的最值,在区间端点取得,而非.
2.函数y=x的图象(图中虚线为直线y=x)是( B )
解析 因为函数y=x是幂函数,幂函数在第一象限内恒过点(1,1),排除A项,D项;
当x>
1,0<
1时,y=xa在直线y=x下方,排除C项,故选B.
3.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( A )
A.m=-2 B.m=2
C.m=-1 D.m=1
解析 当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,对称轴为x=1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,故选A.
4.已知f(x)是二次函数,且f′(x)=2x+2,若方程f(x)=0有两个相等实根,则f(x)的解析式为( D )
A.f(x)=x2+2x+4 B.f(x)=2x2+2x+1
C.f(x)=x2+x+1 D.f(x)=x2+2x+1
解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b,
∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c.Δ=4-4c=0,
∴c=1,故f(x)=x2+2x+1,故选D.
5.函数y=3-的值域是__(-∞,2]__.
解析 因为2-2x+x2=(x-1)2+1≥1,所以≥1,所以y≤2.
一 幂函数的图象和性质
幂函数y=xα的性质和图象由于α的取值不同而比较复杂,一般可从三个方面考查:
(1)曲线在第一象限的“升降性”:
0时图象经过点(0,0)和点(1,1),在第一象限的部分“上升”;
0时图象不过点(0,0),经过点(1,1),在第一象限的部分“下降”;
(2)曲线在第一象限的“凹凸性”:
1时曲线下凹,0<
1时曲线上凸,α<
0时曲线下凹;
(3)函数的奇偶性:
一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函数的定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.
【例1】
(1)已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则m的值为( B )
A.-1 B.2
C.-1或2 D.3
(2)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( C )
(3)已知f(x)=x,若0<
b<
1,则下列各式正确的是( C )
A.f(a)<
f(b)<
f<
fB.f<
f(a)
C.f(a)<
fD.f<
f(a)<
f(b)
解析
(1)∵函数f(x)=(m2-m-1)·
xm2+m-3是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
又∵函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴m2+m-3>
0,∴m=2.
(2)∵幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),∴f(x)=x.
(3)∵0<
1,∴0<
<
,
又f(x)=x为增函数,∴f(a)<
f.
二 二次函数的解析式
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,方法如下:
【例2】
(1)已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,则此二次函数的解析式为__f(x)=-4x2+4x+7__.
(2)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>
-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,则f(x)的单调递增区间为__(-∞,-3]__.
解析
(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得
所以所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
(2)因为f(x)+2x>
0的解集为(1,3),
设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<
0,
所以f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①
由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.②
因为方程②有两个相等的根,
所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·
9a=0,解得a=1或a=-.
由于a<
0,舍去a=1.将a=-代入①式得
f(x)=-x2-x-=-(x+3)2+,
所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-3].
三 二次函数的图象和性质
二次函数在闭区间上的最大值和最小值可能在三个地方取到:
区间的两个端点处,或对称轴处.也可以作出二次函数在该区间上的图象,由图象来判断最值.解题的关键是讨论对称轴与所给区间的相对位置关系.
【例3】
(1)已知二次函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
(2)已知a是实数,记函数f(x)=x2-2x+2在[a,a+1]上的最小值为g(a),求g(a)的解析式.
解析
(1)①当a>
0时,f(x)=ax2-2x图象的开口方向向上,且对称轴为x=.
当≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x图象的对称轴在[0,1]内,
∴f(x)在上递减,在上递增.
∴f(x)min=f=-=-.
当>
1,即0<
1时,f(x)=ax2-2x图象的对称轴在[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上递减.∴f(x)min=f
(1)=a-2.
②当a<
0时,f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x=<
0,在y轴的左侧,∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上递减.
∴f(x)min=f
(1)=a-2.
综上所述,f(x)min=
(2)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
x∈[a,a+1],a∈R,对称轴为x=1.
当a+1<
1,即a<
0时,函数图象如图
(1),函数f(x)在区间[a,a+1]上为减函数,所以最小值为f(a+1)=a2+1;
当a≤1≤a+1,即0≤a≤1时,函数图象如图
(2),在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f
(1)=1;
当a>
1时,函数图象如图(3),函数f(x)在区间[a,a+1]上为增函数,所以最小值为f(a)=a2-2a+2.
综上可知,g(a)=
【例4】
(1)若函数f(x)=x2+2ax+3在区间[-4,6]上是单调函数,则实数a的取值范围为__(-∞,-6]∪[4,+∞)__.
(2)若函数f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是!
###.
解析
(1)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.
(2)函数f(x)图象的对称轴为x=,且f=-,f(3)=f(0)=-4,由二次函数的图象知m的取值范围为.
1.若幂函数f(x)=mxα的图象经过点A,则它在点A处的切线方程是( C )
A.2x-y=0 B.2x+y=0
C.4x-4y+1=0 D.4x+4y+1=0
解析 根据函数f(x)=mxα为幂函数,所以m=1,根据图象经过点A,则有α=,所以f(x)=x,f′(x)=,f′=1,故所求切线方程是4x-4y+1=0.
2.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( B )
A.[2-,2+] B.(2-,2+)
C.[1,3] D.(1,3)
解析 由题意可知,f(x)=ex-1>
-1,g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1.若有f(a)=g(b),则g(b)∈(-1,1],
即-b2+4b-3>
-1,解得2-<
2+.
3.已知函数f(x)=-x2+3x+4的定义域为[-2,2],则f(x)的值域为!
解析 函数f(x)=-x2+3x+4图象的对称轴为x=,所以在区间[-2,2]上,函数的最大值为f=-2+3×
+4=,函数的最小值为f(-2)=-(-2)2+3×
(-2)+4=-6,所以函数的值域为.
4.(2018·
广东广州摸底)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象的上方,求实数m的取值范围.
解析
(1)设f(x)=ax2+bx+c,
由f(0)=1,得