1、一般地,函数_yx_叫做幂函数,其中x是自变量,是常数2几个常用的幂函数的图象与性质定义幂函数yx(R)图象1时,图象下凹;当00时,开口_向上_,a0时,开口_向下_;(4)值域:0时,y!#,a0时,y_;(5)单调性:0时,f(x)在!#上是减函数,在_上是增函数;a0时,f(x)在上是_增函数_,在上是_减函数_.5二次函数、二次方程、二次不等式三者间的关系二次函数f(x)ax2bxc(a0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2bxc0的_根_,也是一元二次不等式ax2bxc0(或ax2bxc0)解集的_端点值_6二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上必有最大值
2、和最小值,它只能在区间的_端点_或二次函数的_顶点_处取得,可分别求值再比较大小,最后确定最值1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点()(3)当n1,01时,yxa在直线yx下方,排除C项,故选B3函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是(A)Am2 Bm2Cm1 Dm1解析当m2时,f(x)x22x1,对称轴为x1,其图象关于直线x1对称,反之也成立,故选A4已知f(x)是二次函数,且f(x)2x2,若方程f(x)0有两个相等实根,则f(x)的解析式为(D)Af(x)x22x4 Bf(x)2x22x1
3、Cf(x)x2x1 Df(x)x22x1解析设f(x)ax2bxc(a0),则f(x)2axb,a1,b2,f(x)x22xc.44c0,c1,故f(x)x22x1,故选D5函数y3的值域是_(,2_.解析因为22xx2(x1)211,所以1,所以y2.一幂函数的图象和性质幂函数yx的性质和图象由于的取值不同而比较复杂,一般可从三个方面考查:(1)曲线在第一象限的“升降性”:0时图象经过点(0,0)和点(1,1),在第一象限的部分“上升”;0时图象不过点(0,0),经过点(1,1),在第一象限的部分“下降”;(2)曲线在第一象限的“凹凸性”:1时曲线下凹,01时曲线上凸,0时曲线下凹;(3)函
4、数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式形式,再根据函数的定义域和奇偶性定义判断其奇偶性【例1】 (1)已知函数f(x)(m2m1)xm2m3是幂函数,且x(0,)时,f(x)是增函数,则m的值为(B)A1 B2C1或2 D3(2)幂函数yf(x)的图象过点(4,2),则幂函数yf(x)的图象是(C)(3)已知f(x)x,若0b1,则下列各式正确的是(C)Af(a)f(b)ff Bff(a)Cf(a)f Dff(a)0,m2.(2)幂函数yf(x)的图象过点(4,2),f(x)x.(3)01,0,又f(x)x为增函数,f(a)2x的解集为(1,3)若方程f(x)6a0有两个相等的根,则f(
5、x)的单调递增区间为_(,3_.解析(1)设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解得所以所求二次函数为f(x)4x24x7.(2)因为f(x)2x0的解集为(1,3),设f(x)2xa(x1)(x3),且a0,所以f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0,得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的根,所以(24a)24a9a0,解得a1或a.由于a0时,f(x)ax22x图象的开口方向向上,且对称轴为x.当1,即a1时,f(x)ax22x图象的对称轴在0,1内,f(x)在上递减,在上递增f(x)minf.当1,即01时,f(x)ax22x图象的对称轴在0
6、,1的右侧,f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.当a0时,f(x)ax22x的图象的开口方向向下,且对称轴x0,在y轴的左侧,f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述,f(x)min(2)f(x)x22x2(x1)21,xa,a1,aR,对称轴为x1当a11,即a1时,函数图象如图(3),函数f(x)在区间a,a1上为增函数,所以最小值为f(a)a22a2.综上可知,g(a)【例4】 (1)若函数f(x)x22ax3在区间4,6上是单调函数,则实数a的取值范围为_(,64,)_.(2)若函数f(x)x23x4的定义域为0,m,值域为,则m的取值范围是!
7、#.解析(1)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是xa,所以要使f(x)在4,6上是单调函数,应有a4或a6,即a6或a4.(2)函数f(x)图象的对称轴为x,且f,f(3)f(0)4,由二次函数的图象知m的取值范围为.1若幂函数f(x)mx的图象经过点A,则它在点A处的切线方程是(C)A2xy0 B2xy0C4x4y10 D4x4y10解析根据函数f(x)mx为幂函数,所以m1,根据图象经过点A,则有,所以f(x)x,f(x),f1,故所求切线方程是4x4y10.2已知函数f(x)ex1,g(x)x24x3.若有f(a)g(b),则b的取值范围为(B)A2,2 B(2,2)C1,3 D(
8、1,3)解析由题意可知,f(x)ex11,g(x)x24x3(x2)211若有f(a)g(b),则g(b)(1,1,即b24b31,解得22.3已知函数f(x)x23x4的定义域为2,2,则f(x)的值域为!解析函数f(x)x23x4图象的对称轴为x,所以在区间2,2上,函数的最大值为f234,函数的最小值为f(2)(2)23(2)46,所以函数的值域为.4(2018广东广州摸底)已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x,且f(0)1(1)求f(x)的解析式;(2)在区间1,1上,yf(x)的图象恒在y2xm的图象的上方,求实数m的取值范围解析(1)设f(x)ax2bxc,由f(0)1,得
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