安徽省合肥一中学年第一学期高二年级第一次段考理科数学Word下载.docx
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A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
5．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ
②存在两条不同的直线l，m，使得l⊂β，m⊂β，使得l∥α，m∥α
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．
其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：
积及为米几何？
”其意思为：
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
7．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）
A．64B．62C．34D．32
8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）
A．直线AA1B．直线A1B1C．直线A1D1D．直线B1C1
9．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝6，AD＝4，AA1＝3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三个部分，其体积分别记为．若V1：
V2：
V3＝1：
4：
1，则截面A1EFD1的面积为（ ）
A．B．C．D．16
11．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A﹣BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB，∠ASC＝∠BSC＝30°
，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A．3B．2C．D．1
二.填空题（每小题5分，共20分）
13．圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°
，则圆台的侧面积为 ．
14．空间四边形ABCD的对棱AD，BC成60°
的角，且AD＝a，BC＝b，平行于AD与BC的截面分别交AB，AC，CD，BD于E．F．G、H．截面EFGH的面积最大值为 ．
15．如图，一个盛满水的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知道SD：
DA＝SE：
EB＝CF：
FS＝2：
1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的 ．
16．如图，正四面体A﹣BCD的棱长为a，点E、F分别是棱BD、BC的中点，则平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为 ．
三.解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）
17．如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°
，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
18．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，
（1）求证：
BD∥截面PQMN；
（2）若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角．
19．在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图．
（1）若A1C交平面EFBD于点R，则P，Q，R三点共线．
（2）线段AC上是否存在点M，使得平面B1D1M∥平面EFBD，若存在确定M的位置，若不存在说明理由．
20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，CD＝DD1＝1，AB＝2，BC＝3．
（Ⅰ）证明：
无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；
（Ⅱ）当EC＝1时，求几何体A﹣EFD1D的体积．
21．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上．
（1）若PM：
MA＝BN：
ND＝PQ：
QD，求证：
平面MNQ∥平面PBC．
（2）若Q满足PQ：
QD＝2，则M点满足什么条件时，BM∥面AQC．
22．如图，已知点E是圆心为O1半径为2的半圆弧上从点B数起的第一个三等分点，点F是圆心为O2半径为1的半圆弧的中点，AB、CD分别是两个半圆的直径，O1O2＝2，直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直，直线AB、DC共面．
（1）求三棱锥D﹣ABE的体积；
（2）求直线DE与平面ABE所成的角的正切值；
（3）求直线AF与BE所成角的余弦值．
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．B
2．B
3．C
4．C
5．B
6．B
7．A
8．D
9．A
10．C
11．D
12．C
13．6π．
14．ab．
15．．
16．正四面体A﹣BCD的体积为V，
表面积为S＝4，
所以，正四面体A﹣BCD的内切球半径为r．
如图，平面AEF截该正四面体的内切球所得截面一定是圆，设圆心为P，
内切球的球心为O，则OP⊥AM，PN，AP，
MN，由AM2＝NM2+AN2可得AMa，
由，可得OP，
∴平面AEF截该正四面体的内切球所得截面一定是圆半径r1，
平面AEF截该正四面体的内切球所得截面的面积为．
17．由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面
S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π．
故所求几何体的表面积为：
8π+35π+25π＝68π（7分）
由，（9分）
（11分）
所以，旋转体的体积为
18．
（1）证明：
∵截面PQMN是平行四边形，∴PN∥QM，又PN⊄平面BCD，QM⊂平面BCD⇒PN∥平面BCD．
∵PN⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD⇒PN∥BD，
∵PN⊂截面PQMN，BD⊄截面PQMN，∴BD∥截面PQMN．
（2）解：
由
（1）的证明知PN∥BD，∴∠NPM（或其补角）是异面直线PM与BD所成的角．
∵截面PQMN是正方形，∴∠NPM＝45°
．
∴异面直线PM与BD所成的角是450．
19．
（1）证明：
在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，
AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图．
∵在正方体AC1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，
AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，A1C交平面EFBD于点R，如图．
∴P，Q，R是平面BDEF和平面BDD1B1的公共点，
∴P，Q，R三点共线．
取AD中点G，AB中点H，连结GH，交AC于点M，
连结D1G，B1H，由题意得GH∥EF，B1H∥DE，
∵GH∩B1H＝H，EF∩DE＝E，
∴平面GHB1D1∥平面BDEF，
∴线段AC上存在点M，使得平面B1D1M∥平面EFBD，且M为AP中点．
20．（Ⅰ）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥CC1，
∵EF∥CC1，∴EF∥DD1，（2分）
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面ABCD∩平面EFD1D＝ED，
平面A1B1C1D1∩平面EFD1D＝FD1，
∴ED∥FD1，∴四边形EFD1D为平行四边形，
∵侧棱DD1⊥底面ABCD，又DE⊂平面ABCD内，
∴DD1⊥DE，∴四边形EFD1D为矩形；
（Ⅱ）证明：
连接AE，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，
∴侧棱DD1⊥底面ABCD，又AE⊂平面ABCD内，
∴DD1⊥AE，（6分）
在Rt△ABE中，AB＝2，BE＝2，则；
（7分）
在Rt△CDE中，EC＝1，CD＝1，则；
在直角梯形中ABCD，；
∴AE2+DE2＝AD2，即AE⊥ED，
又∵ED∩DD1＝D，∴AE⊥平面EFD1D；
由（Ⅰ）可知，四边形EFD1D为矩形，且，DD1＝1，
∴矩形EFD1D的面积为，
∴几何体A﹣EFD1D的体积为．
21．
（1）证明：
∵PM：
MA＝PQ：
QD．
∴QM∥AD，∵AD∥BC，∴QM∥BC，
∵QM⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴MQ∥平面PBC．
∵BN：
QD．∴QN∥PB，
即QN∥平面PBC．
∵QM∩QN＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC；
连接AC，交BD于O，连接OQ，
取PQ的中点G，连接BG，则BG∥OQ，
∵OQ⊂平面AQC，BG⊄平面AQC，∴BG∥平面AQC，
取PA的中点M，连接GM，则GM∥AQ，
∵AQ⊂平面AQC，GM⊄平面AQC，∴GM∥平面AQC，
又BG∩GM＝G，∴平面BGM∥平面AQC，
则BM∥面AQC，此时M为PA的中点．
22．
（1）∵，O1E＝2，
∴S△ABE＝2，
∵直线O1O2与两个半圆所在的平面均垂直，直线AB、DC共面，
∴三棱锥D﹣ABE的高等于O1O2＝2，
于是，VD﹣ABE．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，D（0，﹣1，2），E，
．
平面ABE的一个法向量为（0，0，1），
设线DE与平面ABE所成的角为θ，
则sinθ．
∴，从而．
（3）以点O1为坐标原点，，，分别为x、y、z轴的正向
建立空间直角坐标系，则A（﹣2，0，0），B（2，0，0），E，F（0，1，2），
于是（2，1，2），，
设直线AF与BE所成角为θ，从而cosθ．
∴直线AF与BE所成角的余弦值为．
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