新版湘教版初一数学七年级下册 第三章 全章教案教学设计.docx
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新版湘教版初一数学七年级下册第三章全章教案教学设计
多项式的因式分解
教学目标
1、知识与技能:
使学生了解因式分解的意义,知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
2、过程与方法:
通过观察,发现分解因式与整式乘法的关系。
3、情感态度与价值观:
培养学生的观察能力和语言概括能力.
教学重点
1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
教学难点
通过观察,归纳分解因式与整式乘法的关系.
教学目标
一、预学
(一)、创设问题情境,引入新课
计算(a+b)(a-b)
a2-b2=(a+b)(a-b)成立吗?
那么如何去推导呢?
这就是我们即将学习的内容:
因式分解的问题.
(二)、讲授新课
1.讨论6能被2整除吗?
你是怎样想的?
与同伴交流.
6能被2整除.
因为6=3×2
其中有一个因数为2,所以6能被2整除..6还能被哪些正整数整除?
还能被3整除.
从上面的推导过程看,等号左边是一个数,而等号右边是变成了几个数的积的形式.
二.探究
你能尝试把a3-a化成n个整式的乘积的形式吗?
与同伴交流.
观察x2-x与x2-1这两个代数式.
三、精导
(1)计算下列各式:
①(m+4)(m-4)=__________;②(y-3)2=__________;
③3x(x-1)=__________;④m(a+b+c)=__________;
⑤a(a+1)(a-1)=__________.
(2)根据上面的算式填空:
①3x2-3x=()();②m2-16=()();
③ma+mb+mc=()();④y2-6y+9=()2.
能分析一下两个题中的形式变换吗?
在
(1)中,等号左边都是乘积的形式,等号右边都是多项式;
在
(2)中正好相反,等号左边是多项式的形式,等号右边是整式乘积的形式.
在
(1)中我们知道从左边推右边是整式乘法;
在
(2)中由多项式变成整式乘积的形式是因式分解.
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式
四、提升
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同?
你还能举一些类似的例子加以说明吗?
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是分解因式,这两种过程正好相反.
由(a+b)(a-b)=a2-b2可知,左边是整式乘法,右边是一个多项式;由a2-b2=(a+b)(a-b)来看,左边是一个多项式,右边是整式的乘积形式,所以这两个过程正好相反.
如:
(1)m(a+b+c)=ma+mb+mc
(2)ma+mb+mc=m(a+b+c)
联系:
等式
(1)和
(2)是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别:
等式
(1)是把几个整式的积化成一个多项式的形式,是乘法运算.
等式
(2)是把一个多项式化成几个整式的积的形式,是因式分解.
所以,因式分解与整式乘法是互逆方向的变形.
5.例题:
下列各式从左到右的变形,哪些是因式分解?
(1)4a(a+2b)=4a2+8ab;
(2)6ax-3ax2=3ax(2-x);
(3)a2-4=(a+2)(a-2);
(4)x2-3x+2=x(x-3)+2.
(1)左边是整式乘积的形式,右边是一个多项式,因此从左到右是整式乘法,不是因式分解;
(2)左边是一个多项式,右边是几个整式的积的形式,因此从左到右的变形是因式分解;
(3)和
(2)相同,是因式分解;
(4)不是因式分解,左右都是和形式。
例解方程:
x2-1=0
解把方程左端的多项式因式分解,得
(x-1)(x+1)=0
从而得
x+1=0或x-1=0,
即x=-1或x=1.
因此方程的解是x=-1或x=1.
五、课堂练习连一连
解:
六.课时小结
本节课学习了因式分解的意义,即把一个多项式化成几个整式的积的形式;还学习了整式乘法与分解因式的关系是互逆方向的变形.
提公因式法
教学目标:
会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法分解多项式的因式.
重点难点:
重点:
用提公因式法分解因式.
难点:
确定多项式中的公因式.
教学过程:
一、创设情境,导入新课
1.如图,我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,
宽为多少呢?
这个问题实际上就是求(am+bm+cm)÷(a+b+c)=______
为了解决这个问题请你先思考:
2.如图,某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮,被分成了三
块,矩形宽度分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少?
提问:
把ma+mb+mc写成m(a+b+c)叫什么运算?
怎样分解因式?
这节课我们来学习第一个方法-------提公因式法
二、合作交流,探究新知
1.公因式的概念
(1)式子:
am,bm,cm,是由哪些因式组成的?
指出:
其中m是他们的公共的因式,叫公因式
(2)你能指出下面多项式中各项的公因式吗?
;(5)
2.提公因式法
把ma+mb+mc分解成:
ma+mb+mc=m(a+b+c),用到什么依据?
这种因式分解有什么特点?
用到了乘法分配律,特点:
把各项的公因式提出放到括号外面,叫提公因式法.
3.应用举例
例1把因式分解
强调:
(1)公因式确定后,另一个因式怎么确定?
(2)某一项全部提出后,还有因数“1”
例2把因式分解.
强调:
(1)首项系数是负数时,取其绝对值找最大公因数.
(2)首项为负时,最好提出负号.
例3把因式分解
强调:
公因式确定的方法:
1、系数:
取各系数的最大公约数.如果绝对值较大,可以分解质因数求最大公因数;如:
求48、36的最大功因数48=,36=,那么就是他们的最大公约数
2、对于字母,取各项都有的,指数最低的.如:
与,取做为公因式的字母因式
3、公因式确定后,另一个因式可以用多项式除以公因式.
考考你:
1.a²x+ay-a³xy在分解因式时,应提取的公因式()
A.a²B.aC.axD.ay
2.下列分解因式正确的个数为()
(1)5y³+20y²=5y(y²+4y)
(2)a²b-2ab²+ab=ab(a-2b)(3)–a²+3ab-2ac=-a(a+3b-2c)
(4)-2x²-12xy²+8xy³=-2x(x+6y²-4y³)
A.1B.2C.3D.4
三、应用迁移,巩固提高
1.提公因式法在计算方面的应用
例4如图,a=4.6cm,b=1.3cm,求阴影部分的面积.
2.提公因式法在证明中的应用
例5必能被45整除吗?
试说明理由.
四、课堂练习,巩固提高
五、课堂小结,拓展提高.
这节课我们学习了因式分解的什么方法?
应注意什么?
提公因式法
【教学目标】
1、知识与技能:
⑴在具体情境中认识公因式
⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律,使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式
2、过程与方法:
⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想,培养学生完整地、辨证地看问题的思想。
⑵树立学生全面分析问题,认识问题的思想,提高学生的观察能力,分析问题及逆向思想能力。
3、情感、态度与价值观:
在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识,并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。
【教学重点、难点】
1.教学重点∶掌握公因式的概念,会使用提取公因式法进行因式分解,理解添括号法则。
⒉.教学难点∶正确地找出公因式
【教学过程】
㈠预学
如图8-1,一块菜园由两个长方形组成,这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7m,如何计算这块菜园的面积呢?
3.8
列式:
3.7×3.8+3.7×6.2(学生思考后列式)
3.7有简便算法吗?
=3.7×(3.8+6.2)
3.7=3.7×10=37(m2)
6.2图8-1
在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:
ma+mb=m(a+b)
利用整式乘法验证:
m(a+b)=ma+mb
㈡探究
让学生观察多项式:
ma+mb
(让学生说出其特点:
都有m,含有两种运算乘法、加法;然后教师规范其特点,从而引出新知。
)
各项都含有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式。
注意:
公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。
又如:
b是多项式ab-b2各项的公因式
2xy是多项式4x2y-6xy2z各项的公因式
让学生说出公因式,学生可能会说是2或者是x、y、2x、2y、2xy等,最后一起确定公因式2xy,让学生初步体会到确定公因式的方法。
㈢精导
指出下列各多项式中各项的公因式(以抢答的形式)
⑴ax+ay-a(a)
⑵5x2y3-10x2y(5x2y)
⑶24abc-9a2b2(3ab)
⑷m2n+mn2(mn)
⑸x(x-y)2-y(x-y)(x-y)
说明:
本活动也可以改为寻找公因式游戏如:
(根据提供的多项式和整式,寻找出这个多项式的公因式.)
⑴ax+ay-a⑵5x2y3-10x2y⑶24abc-9a2b2⑷m2n+mn2⑸x(x-y)2-y(x-y)
a,x,y5xy,5x2y3,5x2y3abc,9ab,3abmn,m2n,mn2x(x-y),y(x-y),(x-y)
游戏规则:
准备好写有整式和多项式的纸牌,学生分为四组,每组选四个同学游戏,其中3个同学举一组题中的整式牌,第四个根据组员建议寻找出题中的公因式,并说明理由。
显然由定义可知,提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法:
(可以由学生讨论总结,然后教师进行归纳)
⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数(当系数是整数时)
⑵字母取各项的相同字母,且各字母的指数取最低次幂
根据分配律,可得m(a+b)=ma+mb逆变形,使得到ma+mb的因式分解形式:
ma+mb=m(a+b)这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面,将多项式ma+mb写成m(a+b)的形式,这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
定义:
一般地,如果一个多项式的各项含有公因式,那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。
㈣例题教学,运用新知
例1.把3pq3+15p3q分解因式
通过上面的练习,学生会比较容易地找出公因式,所以这一步还是让学生来操作。
然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。
事后总结出提取公因式的一般步骤分两步:
第一步:
找出公因式;第二步:
提取公因式
解:
3pq3+15p3q=3pq×q2+3pq×5p2=3pq(q2+5p2)
让学生口答:
把2x3+6x2分解因式
【学生在探究、交流中能获得一些初步概念和技能,但真正达到掌握知识与技能,还需要教师示范,学生模仿性学习,经过规范化的示范,就能逐步培养学生严谨的思维,正确的计算能力。
】
说明:
⑴应特别强调确定公因式的两个条件,以免漏取.
⑵刚开始讲,最好把公因式单独写出。
①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解
例2.把4x2-8ax+2x分解因式(让学生做,教师下去观察并选择有代表性的解答。
)
学生可能出现的解答:
①4x2-8ax+2x=x(4x-8a+2)②4x2-8ax+2x=2(2x2-4ax+x)
③4x2-8ax+2x=2x(2x-4a)④4x2-8ax+2x=2x(2x-2a+1)
⑤4x2-8ax+2x=2x(2x-8ax+2x)
教师出示学生的解答,可先让学生自行点评,找出分解因式的错误,而且这些错