学年七年级数学北师大版下册第2章相交线与平行线章末易错题型优生辅导附答案.docx

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学年七年级数学北师大版下册第2章相交线与平行线章末易错题型优生辅导附答案

2021年度北师大版七年级数学下册第2章相交线与平行线章末易错题型优生辅导（附答案）

1．平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　）

A．24条B．21条C．33条D．36条

2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（　　）

A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线

3．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　）

A．向右拐85°，再向右拐95°

B．向右拐85°，再向左拐85°

C．向右拐85°，再向右拐85°

D．向右拐85°，再向左拐95°

4．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（　　）

A．5对B．6对C．7对D．8对

5．观察下面的图形，并阅读图形下面的相关文字：

像这样，12条直线相交，最多交点的个数是（　　）

A．50个B．55个C．65个D．66个

6．下列语句中：

①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

7．如图所示，直线AB∥CD，点E在直线AB上，点G在直线CD上，∠EFG的平分线交直线CD于点H，∠AEF和∠CGF的平分线EM和GM相交于点M，若∠BEF＝130°，∠FHG＝15°，则∠M的度数为（　　）

A．65°B．55°C．50°D．45°

8．如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB＝（　　）

A．149°B．149.5°C．150°D．150.5°

9．如图，AB∥CD，∠CGF＝35°，∠AHF＝60°，则∠F的度数为　　．

10．如图AB∥CD，CE交AB于点A，AD⊥AC于点A，若∠1＝48°，则∠2＝　　度．

11．如图，已知AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，那么图中与∠AGE相等的角有　　个．

12．如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板如图放置，若∠2＝44°，则∠1为　　．

13．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，若∠1＝50°，则∠BCD的度数为　　°．

14．已知角α，β的一边互相平行，另一边互相垂直，且α比β的3倍少30度，则α＝　　．

15．∠A与∠B的两边互相垂直，且

∠A＝

∠B，则∠A＝　　．

16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，D为AB上一点，过点D作DE∥AC，若CD平分∠ADE，则∠BCD的度数为　　°．

17．如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C＝25°，则∠A的度数是　　．

18．已知一个角为50°，另一个角的两边分别与该角的两边互相平行，则另一个角的大小为　　．

19．如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，则∠2+∠3＝　　°．

20．如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD＝100°，∠AGF＝20°，则∠B的度数是　　．

21．如图，AB∥CD，AE⊥CE，∠C＝44°，则∠1的度数等于　　．

22．如图，AB∥CD，BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，试问∠M与∠N之间的数量关系如何？

请说明理由．

23．已知：

如图，点F在AB上，EF交BD于G，交CD于E，∠1＝∠2，∠3＝∠ABE，∠ADC+∠C＝180°．

求证：

AD∥EF．

24．如图，直线EF∥GH，点B、A分别在直线EF、GH上，连接AB，在AB左侧作三角形ABC，其中∠ACB＝90°，且∠DAB＝∠BAC，直线BD平分∠FBC交直线GH于D．

（1）若点C恰在EF上，如图1，则∠DBA＝　　．

（2）将A点向左移动，其它条件不变，如图2，设∠BAD＝α．

①试求∠EBC和∠PBC的大小（用α表示）．

②问∠DBA的大小是否发生改变？

若不变，求∠DBA的值；若变化，说明理由．

（3）若将题目条件“∠ACB＝90°”，改为：

“∠ACB＝β”，其它条件不变，那么∠DBA＝　　．（直接写出结果，不必证明）

25．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系．

（1）如图a，已知AB∥CD，求证：

∠BPD＝∠B+∠D．

（2）如图b，已知AB∥CD，求证：

∠BPD＝∠B﹣∠D；

（3）根据图c，试判断∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系，并说明理由．

26．如图，DE∥BC，CD平分∠BCA，∠2＝30°．

（1）求∠1的度数；

（2）求∠DEA的度数．

27．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC．

（1）求证：

BE⊥DE；

（2）H是直线CD上一动点（不与点D重合），BI平分∠HBD交CD于点I，请你画出图形，并猜想∠EBI与∠BHD的数量关系，且说明理由．

28．如图，E为DF上的点，B为AC上的点，DF∥AC，∠C＝∠D，求证：

∠2＝∠1．

29．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°．

（1）求∠FEC的度数；

（2）若∠BAC＝3∠B，求证：

AB⊥AC；

（3）当∠DAB＝　　度时，∠BAC＝∠AEC．（请直接填出结果，不用证明）

30．已知：

如图1，DE∥AB，DF∥AC．

（1）求证：

∠A＝∠EDF．

（2）点G是线段AC上的一点，连接FG，DG．

①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系，并证明．

②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系．

参考答案

1．解：

AE上共有不重合的线段4条，

AM上共有不重合的线段4条，

BM上共有不重合的线段3条，

CL上共有不重合的线段3条，

DK上共有不重合的线段3条，

EF上共有不重合的线段4条．

共计21条．

故选：

B．

2．解：

如图所示：

不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．

故选：

D．

3．解：

因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进，

所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，

故选：

A．

4．解：

∵DE∥BC，

∴∠EBC＝∠DEB、∠AED＝∠ACB、∠ADE＝∠ABC；

∵BE∥DF，

∴∠DFE＝∠BEC、∠FDE＝∠DEB、∠ADF＝∠ABE、∠AFD＝∠AEB；

∴∠FDE＝∠EBC；

共8对，

故选：

D．

5．解：

∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，

而3＝

×2×3，6＝

×3×4，10＝1+2+3+4＝

×4×5，

∴n条直线相交最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝

n（n﹣1）个交点，

∴当n＝12时，

n（n﹣1）＝

×12×11＝66．

故选：

D．

6．解：

①一条直线有无数条垂线，故①错误；

②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；

③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；

④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；

⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；

⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．

所以错误的有4个．

故选：

C．

7．解：

如图，过F作FP∥AB，过M作MQ∥AB，则PF∥CD，MQ∥CD，

∵∠BEF＝130°，∠FHG＝15°，

∴∠EFP＝50°，∠PFH＝15°，

∴∠EFH＝65°，

又∵FH平分∠EFG，

∴∠GFH＝65°，

∴∠FGH＝100°，

∴∠FGC＝80°，

又∵∠AEF＝180°﹣130°＝50°，ME平分∠AEF，MG平分∠FGC，

∴∠AEM＝25°，∠CGM＝40°，

∴∠EMQ＝25°，∠GMQ＝40°，

∴∠EMG＝65°，

故选：

A．

8．解：

如图，过点E作EG∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥GE，

∴∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠EDC＝180°，

∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°；

又∵∠BED＝61°，

∴∠ABE+∠CDE＝299°．

∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，

∴∠FBE+∠EDF＝

（∠ABE+∠CDE）＝149.5°，

∵四边形的BFDE的内角和为360°，

∴∠BFD＝360°﹣149.5°﹣61°＝149.5°．

故选：

B．

9．解：

∵AB∥CD，∠AHF＝60°，

∴∠HEG＝∠AHF＝60°，

∵∠HEF是△EFG的外角，

∴∠F＝∠HEG﹣∠CGF＝60°﹣35°＝25°．

故答案为：

25°．

10．解：

∵AB∥CD，∠1＝48°，

∴∠C＝∠1＝48°，

∵AD⊥AC，

∴∠CAD＝90°，

∴∠2＝90°﹣∠C＝90°﹣48°＝42°．

故答案为；42．

11．解：

∵AB∥CD∥EF，

∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA；

∵BC∥AD，

∴∠GAE＝∠GCF；

又∵AC平分∠BAD，

∴∠GAB＝∠GAE；

∵∠AGE＝∠CGF．

∴∠AGE＝∠GAB＝∠DCA＝∠CGF＝∠GAE＝∠GCF．

∴图中与∠AGE相等的角有5个．

12．解：

过点B作BD∥a，如图所示：

∵BD∥a，

∴∠2＝∠CBD，

又∵∠2＝44°，

∴∠CBD＝44°，

∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∠ABC＝60°，

∴∠DBA＝60°﹣44°＝16°，

又∵a∥b，

∴BD∥b，

∴∠DBA＝∠3，

∴∠3＝16°，

又∵∠1＝∠3，

∴∠1＝16°，

故答案为16°．

13．解：

∵l1∥l2，

∴∠1＝∠ABC＝50°．

∵CD⊥AB于点D，

∴∠CDB＝90°．

∴∠BCD+∠DBC＝90°，即∠BCD+50°＝90°．

∴∠BCD＝40°．

故答案为：

40．

14．解：

如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，

过C作CF∥AB，则

，

解得α＝60°；

如图，当AB∥DE，BC⊥DC时，

过C作CF∥AB，则

，

解得α＝150°；

综上所述，α的度数为60°或150°．

故答案为：

60°或150°．

15．解：

如图，∠A+∠B＝360°﹣90°×2＝180°，

∵

∠A＝

∠B，

∴∠B＝

∠A，

∴∠A+

∠A＝180°

，

∴∠A＝72°，

故答案为：

72°．

16．解：

∵DE∥AC，CD平分∠ADE，

∴∠ACD＝∠CDE＝∠CDA，

∴AD＝AC，

又∵∠A＝50°，

∴∠ACD＝65°，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°，

故答案为：

25°．

17．解：

∵CD∥EF，

∠C＝∠CFE＝25°，

∵FC平分∠AFE，

∴∠AFE＝2∠CFE＝50°，

又∵AB∥EF，

∴∠A＝∠AFE＝50°，

故答案为：

50°．

18．解：

∵一个角的两边分别平行另一个角的两边，

∴这两个角相等或互补，

∵一个角为40°，

∴另一个角的度数为50°或130°．

故答案为：

50°或130°．

19．解：

如图，过C作CD∥l1，则CD∥l1∥l2，

∴∠1＝∠ACD＝40°，∠3+∠BCD＝180°，

∴∠3+∠ACB＝40°+180°＝220°，

故答案为：

220．

20．解：

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝

×∠ACD＝

×100°＝50°，

∵FG∥CE，

∴∠AFG＝∠ACE＝50°，

在△AFG中，∠BAC＝∠AFG+∠AGF＝50°+20°＝70°，

又∵∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣100°＝80°，

∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣80°＝30°．

故答案为：

30°．

21．解：

如图，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA，

∵∠C＝44°，∠AEC为直角，

∴∠FEC＝44°，∠BAE＝∠AEF＝90°﹣44°＝46°，

∴∠1＝180°﹣∠BAE＝180°﹣46°＝134°．

故答案为：

134°．

22．解：

数量关系：

∠BMD＝2∠BND，

证明：

如图，过点M作直线ME∥AB，过点N作直线NF∥AB，

又∵AB∥CD，

∴ME∥CD，NF∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行），

∴∠ABM＝∠BME，∠CDM＝∠DME（两直线平行，内错角相等），

∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝∠ABM+∠CDM．

同理可得：

∠BND＝∠ABN+∠CDN．

∵BN，DN分别平分∠ABM，∠MDC，

∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN（角平分线定义）

∴∠BMD＝2∠BND．

23．证明：

∵∠1＝∠2，

∴∠ABE＝∠DBC，

又∵∠3＝∠ABE，

∴∠3＝∠DBC，

∴EF∥BC，

∵∠ADC+∠C＝180°，

∴AD∥BC，

∴AD∥EF．

24．解：

（1）∵EF∥GH，

∴∠CAD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，

∵∠DAB＝∠BAC，

∴∠BAC＝45°，

∴∠ABC＝45°，

∵BD平分∠FBC，

∴∠DBC＝

×180°＝90°，

∴∠DBA＝90°﹣45°＝45°；

（2）如图，

①∵EF∥GH，

∴∠2＝∠3，

∵∠1＝∠2＝α，

∴∠1＝∠3＝α，

∵∠ACB＝90°，

∴∠EBC＝90°﹣∠1﹣∠3＝90°﹣2α，

∠PBC＝

（180°﹣∠EBC）＝45°+α；

②设∠DAB＝∠BAC＝x，即∠1＝∠2＝x，

∵EF∥GH，

∴∠2＝∠3，

在△ABC内，∠4＝180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3＝180°﹣∠ACB﹣2x，

∵直线BD平分∠FBC，

∴∠5＝

（180°﹣∠4）＝

（180°﹣180°+∠ACB+2x）＝

∠ACB+x，

∴∠DBA＝180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，

＝180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（

∠ACB+x），

＝180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣

∠ACB﹣x，＝

∠ACB，＝

×90°，＝45°；

（3）由

（2）可知，

设∠DAB＝∠BAC＝x，即∠1＝∠2＝x，

∵EF∥GH，

∴∠2＝∠3，

在△ABC内，∠4＝180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3＝180°﹣∠ACB﹣2x，

∵直线BD平分∠FBC，

∴∠5＝

（180°﹣∠4）＝

（180°﹣180°+∠ACB+2x）＝

∠ACB+x，

∴∠DBA＝180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，

＝180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（

∠ACB+x），

＝180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣

∠ACB﹣x，＝

∠ACB，

∠ACB＝β时，

∠DBA＝

β．

25．解：

（1）过点P作PE∥AB，如图1所示．

∵AB∥PE，AB∥CD，（已知）

∴AB∥PE∥CD．（在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行）

∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，（两直线平行，内错角相等）

∴∠BPD＝∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D．（等量代换）

（2）过点P作PE∥CD，如图2所示．

∵PE∥CD，（辅助线）

∴∠BOD＝∠BPE，（两直线平行，同位角相等）；∠D＝∠DPE，（两直线平行，内错角相等）

∴∠BPE＝∠BPD+∠DPE＝∠BPD+∠D，（等量代换）

即∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代换）

（3）数量关系：

∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D．

理由如下：

过点P作PE∥CD，过点B作BF∥PE，如图3所示．

则BF∥PE∥CD，

∴∠FBA+∠BQD＝180°，∠FBP+∠BPE＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）

∠D＝∠DPE，（两直线平行，内错角相等）

∵∠FBA＝∠FBP+∠B，

∴∠BPE＝∠BQD+∠B，

∴∠BPD＝∠BPE+∠DPE＝∠BQD+∠B+∠D．（等量代换）

26．解：

（1）∵DE∥BC，

∴∠2＝∠BCD＝30°，

又∵CD平分∠BCA，

∴∠1＝∠BCD＝30°；

（2）∵∠AED是△CDE的外角，

∴∠DEA＝∠2+∠1＝30°+30°＝60°．

27．解：

（1）证明：

如图，过点E作EF∥AB

∵AB∥CD，EF∥AB

∴EF∥CD

∴∠2＝∠4

∵EF∥AB

∴∠3＝∠1

∵AB∥CD

∴∠ABD+∠CDB＝180°

∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC

∴∠3＝

∠ABD，∠4＝

∠CDB

∴∠3+∠4＝

∠ABD+

∠CDB＝90°

∴∠1+∠2＝90°

∴BE⊥DE

（2）∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°﹣2∠EBI．

理由：

∵BE平分∠ABD，

∴∠ABD＝2∠EBD，

∵BI平分∠HBD，

∴∠HBD＝2∠IBD，

如图1，点H在点D的左边时，∠ABH＝∠ABD﹣∠HBD，

∠EBI＝∠EBD﹣∠IBD，

∴∠ABH＝2∠EBI，

∵AB∥CD，

∴∠BHD＝∠ABH，

∴∠BHD＝2∠EBI；

如图2，点H在点D的右边时，∠ABH＝∠ABD+∠HBD，

∠EBI＝∠EBD+∠IBD，

∴∠ABH＝2∠EBI，

∵AB∥CD，

∴∠BHD＝180°﹣∠ABH，

∴∠BHD＝180°﹣2∠EBI，

综上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°﹣2∠EBI．

28．证明：

∵DF∥AC，

∴∠C＝∠CEF，

又∵∠C＝∠D，

∴∠CEF＝∠D，

∴BD∥CE，

∴∠3＝∠4，

又∵∠3＝∠2，∠4＝∠1，

∴∠2＝∠1．

29．解：

（1）∵CE平分∠BCF，

∴设∠BCE＝∠ECF＝

∠BCF＝x．

∵∠DAC＝3∠BCF，

∴∠DAC＝6x．

∵AD∥BC，

∴∠DAC+∠ACB＝180°，

∴6x+2x+20°＝180°，

∴x＝20°，即∠BCE＝20°，

∵EF∥AD，AD∥BC，

∴EF∥BC，

∴∠BCE＝∠FEC＝20°；

（2）证明：

∵AD∥BC，

∴∠DAB＝∠B，

又∵∠BAC＝3∠B，

∴∠DAC＝4∠B，

由

（1）可得∠BCA＝20°×3＝60°，

∴∠DAC＝4∠B＝120°，

∴∠B＝30°，

∴∠BAC＝30°×3＝90°，

∴AB⊥AC．

（3）由

（1）知∠BCE＝20°，

∴∠BCF＝40°．

∴∠DAC＝3×40°＝120°，

∵AD∥BC，

∴可设∠BAD＝∠B＝α，

∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝α+20°，∠BAC＝∠DAC﹣∠DAB＝120°﹣α，

∴当∠BAC＝∠AEC时，α+20°＝120°﹣α，

解得α＝50°，

∴∠DAB＝50°．

故答案为：

50．

30．解：

（1）∵DE∥AB，DF∥AC，

∴∠EDF+∠AFD＝180°，∠A+∠AFD＝180°，

∴∠EDF＝∠A；

（2）①∠AFG+∠EDG＝∠DGF．

如图2所示，过G作GH∥AB，

∵AB∥DE，

∴GH∥DE，

∴∠AFG＝∠FGH，∠EDG＝∠DGH，

∴∠AFG+∠EDG＝∠FGH+∠DGH＝∠DGF；

②∠AFG﹣∠EDG＝∠DGF．

如图所示，过G作GH∥AB，

∵AB∥DE，

∴GH∥DE，

∴∠AFG＝∠FGH，∠EDG＝∠DGH，

∴∠AFG﹣∠EDG＝∠FGH﹣∠DGH＝∠DGF．