偏微分方程组解法Word格式.docx
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qr=0;
命令：
x=linspace（0,10,20）*1e-2;
t=linspace（0,15,16）;
sol=pdepe（0,@pdefun,@icfun,@bcfun,x,t）;
mesh（x,t,sol（:
:
1））%温度与时间和空间位置的关系图
%画1、2、4、6、8、15s时刻温度分布图
plot（x,sol（2,:
1））1sholdon
时刻，（因为本题sol第一行为0时刻）
plot（x,sol（3,:
1））
plot（x,sol（5,:
plot（x,sol（7,:
plot（x,sol（9,:
1））plot（x,sol（16,:
计算结果：
嘟8秒时温度分布
sol（9,:
1）
经过8秒时的温度分布为:
x/cmt/C
或者求第8秒时，x=0,2,4,,6,8,10cm处的温度
[uout,duoutdx]=pdeval（0,x,sol（9,:
）,[0,2,4,6,8,10]*1e-2）
不同时刻温度分布图
将上图的视角转至xt平面也得到本图，从本图可知当时间达到15s时平壁内的温度分布已近稳定。
某厚度为20cm钢板原温度为20C，现将其置于1000C的炉中加热，平壁导热系数
为34.8W/m
C，对流传热系数h
174W/m
c,导温系数为a0.555105m2/s；
试
分析温度分布随时间的变化及钢板表面温度达到
500C时所需的时间。
解：
边界条件为:
t0,
0（平壁中心坐标为0，绝热），ht0.1,
t0.1,
%偏微分方程（一维动态平壁两侧对流）
function[c,f,s]=pdefun1（x,t,u,dudx）c=1/;
%偏微分方程初始条件（一维动态平壁两侧对流）
functionu0=icbun1（x）
%偏微分方程边界条件（一维动态平壁两侧对流）
function[pl,ql,pr,qr]=bcfun1（xl,ul,xr,ur,t）
pl=0;
ql=1;
pr=174*（ur-1000）;
qr=;
%平壁两侧置于同一流体中具有对流传热，平壁中心
为绝热命令：
%600s内的温度分布变化
t=[0:
60:
600];
sol=pdepe（0,@pdefun1,@icfun1,@bcfun1,x,t）;
mesh（x,t,sol）
%2160s内的温度分布变化
2160];
sol=pdepe（0,@pdefun1,@icfun1,@bcfun1,x,t）;
mesh（x,t,sol）%60、120、180、240、300、360、420s时刻温度分布图
2160,第
1））60s（t网格为0:
2160,其时间间隔为0,60,120,180,二点为60s）
holdon
plot（x,sol（4,:
plot（x,sol（6,:
plot（x,sol（8,:
%1080、1440、1800、2160s时刻温度分布图plot（x,sol（19,:
plot（x,sol（25,:
plot（x,sol（31,:
plot（x,sol（37,:
1））600s内的温度分布变化
2160s内的温度分布变化
Bi
1740.1
34.8
0.5,Fo
0.555105360
0.12
0.2
360s时为
根据以上两准数可知：
该传热过程内外对流及导热阻力相当；
当加热时间小于
由该图可知，当加热时间达到2160s时，钢板的表面温度达到500C，钢板中心温度为:
[uout,duoutdx]=pdeval（0,x,sol（37,:
）,[0]*1e-2）
C
有关传热量问题：
（钢板的表面温度达到500C时，所需的总传热量）
Q
Q0
cVt0t
-Aexp
：
FoB
对平板：
（参见传热学）
10.66818，
sin
1sin
1cos1
1.07329，B
竺」0.92723
2FoB
1.07329
0.53520.927230.5827
0.58270.41726
Q0cVt0t
174
话冇1犖
2010006.14486108J
0.417266.14486108
2.564108J
MatLab解法：
x=[0:
1:
10]*1e-2;
（表面温度达到500C时所需时间为2160s）sol=pdepe（0,@pdefun1,@icfun1,@bcfun1,x,t）;
size（sol）
length（t）
q=0;
fori=1:
36
q=q+174*（（sol（i,11,1）+sol（i+1,11,1））/2-1000）*60;
（所需的热量均是从表面传递进入钢板的）
end
q
结果：
Q2.4797108J
有一直径为40cm钢锭温度为20C，将其置于900C的炉中加热，平壁导热系数为
2
34.8W/mC,对流传热系数h174W/m
C，导温系数为a0.695105m2/s;
试分
析温度分布随时间的变化及钢锭表面温度加热到长的圆柱。
750C时所需的时间；
钢锭可近似为无限
tx,0
0（平壁中心坐标为0，绝热）
，ht0.2,
t0.2,
20]*1e-2;
120:
5520];
（结合图5520s时，钢锭表面温度达到750C左右）
sol=pdepe（1,@pdefun2,@icfun2,@bcfun2,x,t）;
m=1（圆柱）
PDETOO工具求解二维稳态与动态PDE
如图偏心环形空间内表面温度为
100C，外表面温度为20C；
试给出其温度分布。
20C，上部三角形截面处温度为
100C，其余各面绝
如图导热物体，下表面温度为
热，试给出其温度分布。
有一砖砌的烟气通道，其截面形状如附图所示，边长为1m内管道直径为0.5m。
已
知内外壁温分别为80C、25C，砖的导热系数为W/mC，试确定该通道的温度分布、距离任意相邻两直角边各0.1m处的温度及每米长烟道上的散热量。
距离相邻两直角边0.1m处的温度，即以上图中坐标（，）、（，）、（，）或（，）处;
x=［：
］；
y=［：
］;
uxy=tri2grid（p,t,u,x,y）;
结果:
interp2（x,y,uxy,,
n
所以计算其中一面；
传递的热量在内表面处难以计算（圆形的表面），
故其温度为C
根据本题其四面对称，
但传递的热量必然通过外表面，其传热量只需将表面处各节点的一阶导数与节点间的面积、导热系数相乘即可得到传热量。
x=[:
:
];
y=[:
dudx=（uxy（:
2）-uxy（:
1））/（x
（2）-x
（1））x方向一阶导数
q=**sum（dudx）*4结果：
dudx=（uxy（2,:
）-uxy（1,:
））/（y
（2）-y
（1））y方向一阶导数
由以上命令得
x方向一阶导数：
00
y方向一阶导数
由以上边界处的一阶导数结合图可知在边界中心处的热通量最大；
每米烟道的传热量为675W/m（根据传热学形状因子的计算方法得m
同上题，烟气通道原温度为25C，零时刻开始内外壁温分别维持在为80C、25C，
砖的导温系数为W/mC,试确定该通道温度分布随时间的变化及温度分布稳定所需的时间。
t2t2t
a22
xy
pdetool工具各菜单中的参数设置略，其中solve菜单parameters选项的时间设
置为0:
100:
8000。
首先在稳态情况下（椭圆形）求解（三角形网格经过两次细化），导出解u;
而后解以
上非稳态（抛物形）并导出解u1（三角形网格细化与稳态相同）和三角形网格参数p，e，
t；
pdemesh（p,e,t,u1（:
1））0s
2））100s
4））300spdemesh（p,e,t,u1（:
7））600spdemesh（p,e,t,u1（:
11））1000spdemesh（p,e,t,u1（:
21））2000spdemesh（p,e,t,u1（:
31））3000spdemesh（p,e,t,u1（:
51））5000spdemesh（p,e,t,u1（:
81））8000s稳定时间（以某时刻的温度分布与稳态温度分布的相对误差来判断）norm（（u-u1（:
21））./u）结果：
norm（（u-u1（:
31））./u）norm（（u-u1（:
51））./u）norm（（u-u1（:
81））./u）
可见在8000s以后的温度分布已基本没有变化。
u1
h=1r=0c=1a=0f=1
误差plotHeight3D中选择userentry:
u-（1-x.A2-y.A2）/4
u1-x-y
方可收敛
h=1r=0c=1a=0f=1-x-y
需采用solveparameters中usenonlinearsolver
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