极值点偏移第3招含对数式的极值点偏移问题Word文档下载推荐.docx
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ax）
2ax,
h（a）
xx
1ax1ax
由
0x
1
解得
0a
x
当
-时，h
（a）
0」
h（a）在
（0,
）上单调递增，
1x—
时，f』x）
而
h（0）
0，
所以
0,
故当0
2x
^32
2xa
，
1ax
f（-a
⑶由
（1）灿只有当应S/U）的最大值
x）.
Ig数f二/U）才会有两个零点、不妨设10）=巩丙:
"
0£
西弋可」
故丄一珂€◎丄）,
又由ZW在（一,他）上单调递减,
所以旳A——西'
于疋兀=
由tnn^）<
o
【问题的进一步探究】
对数平均不等式的介绍与证明
两个正数a和b的对数平均定义:
L（a,b）lnaa（a
ab（ab）,
Inb
b）.
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:
\abL（a,b）
取等条件：
当且仅当
ab
（此式记为对数平均不等式
ab时，等号成立.
只证：
当ab时,
面L（a,b）专.不失一般性，可设ab.
证明如下:
不等式
2lnxx
InaInbIn^
Tabb
b
-（其中x
1）
（1
）上单调递减,
构造函数f（x）2Inx（x）,（x1），则f（x）
因为x1时，f（X）0,所以函数f（x）在（1,
故f（x）f
（1）0,从而不等式成立;
（H"
正：
L（a，b）"
T
[KS5UKS5U.KS5U
lnaInb◎
lna
2（a
Inx
构造函数g（x）Inx
因为x1时，g（x）
0,所以函数
（U1）
1），则g（x）-
4
（x1）2
g（x）在（1,）上单调递增,
（其中x
（x1f
1）2"
x（x
a1）
故g（x）g
（1）0,从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对a,bR，都有对数平均不等式ObL（a,b）邑丄成立,
当且仅当ab时，等号成立•
例题第（3）问另解：
由f（xjf（x2）0
22
Inx1Inx22（x1x2）a（x1x2
Inx1
Inx2
2（X1
X2）
X1
X2
故要证
f（xO
为x21
2a
x1x2
x21
%
2Inx1Inx22（为x2）In为Inx?
Inx-iInx2
X1x2
X-|x2
根据对数平均不等式，此不等式显然成立，故原不等式得证
★已知函数f（x）xlnx与直线ym交于A（^,y1）,B（x2,y2）两点.
求证：
xix22
e
【解析】由JqlnJ4=m?
x1hix2=mf可得:
—m
⑪②得:
耐于4如宀亠玉
InjqInXjInjq—InXjlmqlnx.
十/迴匕甩g）
根据对数平均不等式
利用③④式可得:
可+1d刁）—m
21u珂IdKqh叫Ln书
由题于ym与y
xlnx交于不同两点，易得出则m0
•••上式简化为
ln（x1x2）2Ine
二0x-|X2
招式演练:
★已知函数f
（aR），曲线yfx在点1,f1处的切线与直线
xa
xy10垂直.
（1）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由;
（2）若函数gxfxk有两个不同的零点x1,x2，证明：
x1?
x2e2.
【答案】
（1）2016201720仃2016
（2）见解析
【解析】试題分析；
（1）求出f⑴的导數，由两直线垂直的条件；
斜率相等』礦可得到切线的斜率^切点坐机进而f（x）的解析式和导数，求出单调区间『可得f0016）>
K2017）,艮冋得到如㈣丁与00/的大小i
（II、运用分析法证明，不妨设xi>
x^>
0,由根的宣冥可得所以化简得Iw-biX）,to-faoM）.可得lnxi+lw=kCsci+sj）,lExi^liuc^t（xi^xs）；
要证明』jq'
jqye1?
即证明血i+tnxj>
2,也就是k（xi+）c）:
>
2-求出热即证瞎一令卷=$、则t>
l,即证ice2（—1）令舟北）=]*_型迪
玛一延jq4-Xj乜f+Lt-¥
1
<
1>
1）・求出导数，尹斷单调性’即可得fib
试题解析：
所以fx的增区间为0,e，减区间为e,
所以f2016f2017，即ln2016ln2017，
20162017
2017In201620161n2017，2016201720172016.
（2）证明：
不妨设x1
0因为g为
gX20
所以化简得
lnx1kx1
lnx2kx2
可得Inx1
lnx2kx-i
，lnx1lnx2kx1x2
Inxilnx2
要证明X1X2e,即证明In/lnx22，也就是kXiX22
因为k
所以x,x2
见解析
【解折】试题分析：
CI）求导数，分类讨论」利用导数的正乳讨论11喲£
⑴的单调区间与根值j（II）当祸时，由（I）得yd远=1山+1-口3阮日—心十1幻』即可求尸】一力十1的最大值,（in.）
=洒（机訂），构造函数』得出当注Td时,
F<
x）fOD；
Jlflffifl寸，F（2L）fEL,再用分析法进（亍证明即可.
试题解析八I）尸（刃二丄一4=^
XXX
当沁o时，『（刃〉。
恒成立，圈数门»
的单谓増区间为①血），无极值』
当“0时‘雄（0上）时，于（刃5皿（乱枷）时…函数/（工）的单调诚区间为（恥），増区间为住皿卜有极小値/個）9讪亠1一小
（II）当bAOBX由
（1）fi/（A）ah=11^+1-a?
即当lnb=总一i时，y】一乂+1最大为1
（川）
（
n）知，
当ea1b1
取
最
大
值1时，
l,Inb
Inx
ea1b
a1
Fb
m,
b0，记F
m
x0，
Fx0
mx
0,不妨设捲
X2，
Inx-i
由题意｛
?
则Inx1x2mx1x2，
Inx2
mx2
InX
In生mx2x1m——匚，欲证明X1X2e2，只需证明Inx-ix22，只需证明
mx1x22,
1立
即证明
X2In
X.
2，
即证为InX2
设t
垒1，则只需证明Int
2t
X21X1
X
t
也就
是
证
明
Int
t1
20，
记
ut
Int2-
t1，
所
以
20，所以u
t在
1,
单调递增，
所以ut
u1
tt12tt1
所以原不等式成立
（I）见解析（n）见解析
IriV
【解析】
（【）由已知得F（x）-f（x）-g（x）a（—Y-1）
I-Inxa2
•'
*F何-a
（1）-—（1-yC-Inx）
°
I-x'
<
0,-lnx<
0,代I
故若松沁在上单调递增，在1丄上单调递减;
故若沁水网卅在上单调递减，在H.：
-3上单调递增.
InK.
（n>
不妨谗cf®
依題意
同理“-b（x22・吋…②
In—
fei+S-1）=—a<
■勺b勺+勺勺
—幅竹丿二臥I厂11=bin-,®
®
冨I■七勺
故只需证頁弋U
t+1
I]
*'
*t=—>
1X；
，即只需证明一•InJtWAl
i-1
成立•即只需证p（t）」lnL—严
成立.
14（t-lr、“
'
■rp'
（t）二=>
0,二p©
在区间［|*亠上单调递增，
t（t+1/t（t+1?
-■；
：
；
「」」：
丁：
「成立.
故原命题得证.
★已知函数fX卒.
（1）若fx在点e,fe2处的切线与直线4xy0垂直，求函数fx的单调递增区间；
（2）若方程fx1有两个不相等的实数解x-i,x2，证明：
捲x22e.
（I）0,1和1,e；
（n）见解析
【解析】试题分析；
⑴利用题意苜先求得实数。
的值'
然后结合导ia数与原圈数的关系求得诙的单调区间即可！
（2）本題制用分析法证明做乩首先写出西皿満足的关系式』然后箔合对数的运算法则进行恒等变形，最卄血⑴響笛沁的性甌可证得馳
BP/（x）的单调减区
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