推荐复习专题中考数学复习全等与相似.docx

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推荐复习专题中考数学复习全等与相似

全等与相似

三只钟的故事

一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。

一只旧钟对小钟说：

“来吧，你也该工作了。

可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。

”

“天哪！

三千两百万次。

”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？

办不到，办不到！

”另一支旧钟说：

“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。

”

“天下哪有这么简单的事情？

”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。

”小钟很轻松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。

成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。

例1.△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，使得DC∥AB,求∠EAB的度数。

例2.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。

请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

例3.如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．

（1）求证：

；

（2）当为边中点，时，如图2，求的值；

（3）当为边中点，时，请直接写出的值．

例4.如图，已知抛物线与交于A（－1，0）、E（3，0）两点，与轴交于点B（0，3）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；

（3）△AOB与△DBE是否相似？

如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

练习一全等三角形

B组

1.如图，给出下列四组条件：

①；

②；

③；

④．

其中，能使的条件共有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

2、如图，AD是△ABC的中线，。

与相等吗？

请说明理由。

3.已知：

如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC∥EF,∠B=∠E.

求证：

ΔABC≌ΔDEF.

4.如图,△和△均为等腰直角三角形，,连接、.求证:

.

5、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，添加一个条件，使DE=DF，并说明理由．

6、如图，AB是⊙O的直径，AC＝AD，试说明△ABC和△ABD全等.

7、已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE。

求证：

GF＝GC。

8、如图，AB是⊙O的直径，BCAB于点B，连接OC，弦AD//OC,作射线CD.

求证：

.

9.已知：

如图，是正方形．是上的一点，于，于．

（1）求证：

△≌△；

（2）求证：

．

C组

10.如图，△ACD≌△ECB，A、C、B在一条直线上，且A和E是一对对应顶点，如果，那么将△ACD围绕C点顺时针旋转多少度与△ECB重合。

11.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点

处．若，则等于（）

A．B．C．D．

练习二相似三角形

B

1、已知△ABC∽△DEF，且AB：

DE=1：

2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为

（A）1：

2（B）1：

4（C）2：

1（D）4：

1

2、若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（）

A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．１∶

3、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的

值（）

A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上但有限D．有无数个

4、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知

AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．

5、如图，在矩形中，点分别在边上，，，求的长．

6．如图所示，给出下列条件：

①；②；③；④．

其中单独能够判定的个数为（）

A．1B．2C．3D．4

7、如图，已知是矩形的边上一点，于.

求证：

．

8、如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？

请证明你的结论．

9.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点。

和的顶点都在格点上。

求证：

∽。

10、小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米，AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）

A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米

11、如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）

A．12mB．10mC．8mD．7m

12.小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：

如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离米。

当她与镜子的距离米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B。

已知她的眼睛距地面高度米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：

入射角＝反射角）。

13、如图，中，、两点在轴的上方，点的坐标是（-1，0）．以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设点的对应点的横坐标是2，求点B的横坐标．

全等与相似

例1.解：

∵将△ABC绕点A旋转到△ADE的位置

∴△ABC≌△AED

∴∠4+∠5=∠3+∠5AC=AD

∴∠3=∠4∠1=∠2

又∵DC∥AB

∴∠1=∠CAB=70°

∴∠2=70°

∴∠3=180°-∠1-∠2=180°-70°-70°=40°

∴∠4=40°

答：

∠EAB的度数为40°。

例2.

解：

图略．画图正确得1分．

（1）与之间的数量关系为．

（2）答：

（1）中的结论仍然成立．

　　证法一：

如图4，在上截取，连结．

证法二：

如图，过点分别作于点，

于点．

可得，是的内心．

可证．所以．

例3解：

（1），．

．

，

，．

；

（2）解法一：

作，交的延长线于．

，是边的中点，．

由

（1）有，，

．

，，

又，．

，．

，，，

，．

解法二：

于，

．．

设，则，

．

，

．

由

（1）知，设，，．

在中，．

．．

（3）．

例4解：

（1）∵抛物线与轴交于点（0，3），

∴设抛物线解析式为

根据题意，得，解得

∴抛物线的解析式为（5′）

（2）由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

设对称轴与x轴的交点为F

∴四边形ABDE的面积=

=

==9

（3）相似

如图，BD=；∴BE=

DE=∴,

即：

所以是直角三角形

∴,且,

∴∽

练习一

1.B；

2、解：

与相等

证明：

∵AD是△ABC的中线

∴BD=CD

∴在ΔABD和ΔACD中

AB=AC

BD=CD

AD=AD

∴ΔABD≌ΔACD（SSS）

∴=

3.证明：

∵BC∥EF

∴∠F=∠ACB

∴在ΔABC和ΔDEF中

∴ΔABC≌ΔDEF（AAS）

4.∵

∴

∵△与△均为等腰三角形，

∴

在△和△中，

∴△≌△（SAS）∴

5、解：

需添加条件是BD=CD，或BE=CF.

证明:

如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BDE=∠CDF．

在△BDE和△CDF中，

∠BDE=∠CDF

BD=CD

∠B=∠C

∴△BDE≌△CDF（ASA）．

∴DE=DF．

法二:

添加BE=CF

证明:

如图，∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD．

在△BDE和△CDF中，

∠BED=∠CFD

∠B=∠C

BE=CF

∴△BDE≌△CDF（AAS）．

∴DE=DF．

6、如图，AB是⊙O的直径，AC＝AD，试说明△ABC和△ABD全等.解　因为AB为⊙O的直径，所以

∠ACB＝∠ADB＝90°．

在Rt△ABC和Rt△ADB中,

AC＝AD，

AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△ADB（HL）．

7、求证：

GF＝GC。

证明：

∵BF＝CE

∴BF＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF

又∵AB⊥BE，DE⊥BE

∴∠B＝∠E＝900

在△ABC和△DEF中，

AB＝DE

∠B＝∠E

BC＝EF

∴△ABC≌△DEF（SAS）．

∴∠ACB＝∠DFE

∴GF＝GC

8、证明：

联结OD.

∵AD∥OC,

∴∠A=∠COB,∠ADO=∠COD

∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.

∴∠COB=∠COD

在△ODC和△OBC中，

OD=OB

∠COB=∠CODOC=OC

∴△OCD≌△OCB（SAS）

∴CD=CB

9.证明:

∵是正方形，∴．

∴．

∵于，∴．

∴．

∵于，于，∴．

∵在正方形中，，∴△≌△．

（2）证明：

∵△≌△，∴．

∵，∴．

10、

解：

△ACD围绕C点顺时针旋转50°与△ECB重合

∵∠BCE=130°，A、C、B三点共线

∴∠ACE=50°

∴△ACD围绕C点顺时针旋转50°与△ECB重合

11.答案：

B

解：

∵将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处

∴△CDE≌△PDE

∴∠CDP=∠PDE=48°

又∵分别为的，边的中点

∴DE∥AB

∴∠APD=∠PDE=48°

练习二

1、【答案】B

2、【答案】B

3、【答案】B

4、【答案】或2;

5、

解：

∵四边形是矩形，AB=6

∴∠A=∠D=90°，DC=AB=6

又∵AE=9

∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：

BE=

∵，

∴，即

∴EF=

6．【答案】C

7、

证明：

四边形是矩形，

∴，.

．

，，．

．

∴

8、△ABE与△ADC相似．理由如下：

在△ABE与△ADC中

∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90o，

∵AD是△ABC的边BC上的高，

∴∠ADC=90o，∴∠ABE=∠ADC．

又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA=∠DCA．

∴△ABE～△ADC．

10、【答案】B

11、【答案】A

12.

13、解：

过点、分别作⊥轴于,⊥轴于，

.

∵的位似图形是，

∴点、、在一条直线上，．

．　．

又∵，.

又∵点的横坐标是2，点的坐标是（-1，0），

，．．∴点的横坐标为

予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。

州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。

予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。

读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。

是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。

予亦方举进士，以礼部诗赋为事。

年十有七试于州，为有司所黜。

因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：

学者当至于是而止