三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用_精品文档Word文档下载推荐.doc

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所以.

由,可得.

该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用.

1.直接使用

当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题.

例1AD、BE、CF是△ABC的三条中线.若,,,则______.

（2005年山东省初中数学竞赛）

分析AD、BE、CF是△ABC的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算.

解如图2,AD是BC边上的中线,由阿波罗尼斯定理得

.

代入已知数据,变形得.

同理,.

故.

例2如图3,△ABC的内切圆⊙O与边CA上的中线BM交于点G、H,并且点G在点B和点H之间.已知,,.那么,当BC、CA为何值时,线段GH的长达到最大值?

并求GH的最大值.

解如图3,设⊙O与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.

由切线长定理,得.

由切割线定理得.

所以,.

设,则.

因此.

设,.则.①

由阿波罗尼斯定理,得,代入数据并变形,得.②

由式①、②,解得,其中,,即.

因此,当时,x达到最大值,即当时,线段GH的长达到最大值.

2.构造三角形的中线后使用定理

有些平面几何题,虽然题设条件中没有直接出现三角形的中线,但根据一些条件可先构造三角形的中线,然后再利用阿波罗尼斯定理求解.

例3如图4,正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、3,且点B、C、G在同一直线上,M是线段AE的中点,连接MF.则MF的长为______.

（2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛）

分析要求MF的长,注意到点M是线段AE的中点,只要连接AF后,就可运用阿波罗尼斯定理进行求解了.

解如图4,连接AF,延长BA、EF交于点H.则.

在Rt△AHF中,,,由勾股定理得.

在Rt△AHE中,,,由勾股定理得.

M是△AEF的边AE的中点,由阿波罗尼斯定理得.

变形,并代入得.

例4如图5,为锐角,A、B是OM上的两个定点,P是ON上的一个动点,问当P在什么位置时,最小?

解析如图5,取AB的中点C,连接PC.

由阿波罗尼斯定理,得.

式中AB的长是定值,要使最小,只需使CP的长最小,根据“垂线段最短”可知,当CP⊥OY时,CP的长最小.至此得到:

当P在点D（D为AB的中点C在ON上的射影）时,最小.

例5如图6,已知三个圆:

半径分别为1、2、3的、、.其中,和彼此外切,并且都和内切.若（未画出）和内切,并分别和、外切,求的半径.

（2011年世界数学团体锦标赛（少年组））

解析如图6,连接、、.

由和彼此外切,并且都和内切,可得,,.

所以点O在线段上.

设的半径为,连接、、.

由和内切,并分别和、外切,可得,,.

注意到,故可取的中点P,连接,从而可两次使用三角形中线的阿波罗尼斯定理,得

所以,

即.

解得.

练习

1.如图7,M、N是Rt△ABC的斜边BC的三等分点.若,,则______.

（2010年世界数学团体锦标赛（少年组）样题）

答案

1..