杨辉三角及其空间拓展_精品文档Word文档格式.doc
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对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”，不对其有些想法才是奇怪了。
而恰好我的母亲又叫“杨辉”。
所以，小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。
再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”，愈发觉得亲切。
一．杨辉三角的相关信息
看似简单的一个数字列表，却蕴藏着很深的奥秘。
这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶，也集中地体现了数学的奥妙无穷。
有了它，我们可以轻易地计算两个数的和的几次方，甚至用来开一个数的几次方。
杨辉（约十三世纪）字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是我国南宋时的数学家，杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷，流传至今的只是其中的一部分，其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形，后人称为杨辉三角形，此外，他还著有《日用算法》二卷，《乘除通变算宝》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。
1
／＼
／＼／＼
／＼／＼／＼
（a+b）0
2
／＼／＼／＼／＼
3
／＼／＼／＼／＼／＼
6
4
10
5
（a+b）1
（a+b）2
（a+b）3
（a+b）4
（a+b）5
20
图 1.1
＼／
二项式展开的系数，按（图1.1）排列成一个三角形。
这里每一行的外侧的两数都是1，中间的数字等于两肩的数的和。
这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书（1261年），在我国通常称为杨辉三角形，杨辉在书中指出“一出《释锁》算书，贾宪用此术”，可见更早时代的贾宪已知道这一三角形了。
并且，当时不仅用这一三角来求二项展开式的系数，还用于对一个数开n次方。
在西方，十五世纪和十六世纪时，也有多人发现了这一三角形。
国外却把它叫做帕斯卡三角形。
而法国数学家帕斯卡（BlaisePascal，1623~1662）发现这一三角形却是十七世纪的事，比我国杨辉晚了五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
首先，让我们来看看杨辉三角的某些性质。
1.项数:
在杨辉三角的第n行的项数为（n+1）。
2.系数:
在杨辉三角形的第n行，各项的系数分别为：
C、C、C……C（n=1、2、3……）
这与二项式定理有密切的联系：
（a+b）n=Can+Can-1b1+…+Can-rbr+…+Cbn（nN*）
在其中令a=b=1则C+C+C+…+C=2n
所以，可推出杨辉三角形的第n行的系数和为2n。
3.总项数:
在杨辉三角形的n行及以上，总的项数K=（n+1）（n+2）
4.通项公式:
令C表示第几行第（m+1）个数，则这个数的系数为C=
所以这个数为M=C·
an-mbm=
5.最大值：
在杨辉三角的第几行中（mN*）,当n=2m，Km=C，即中间的一项
当n=2m+1，Km=C，或Km=C，即中间的两项。
以上是我们查阅的资料，再来看看我们自己的发现。
A
B
图 5.1
如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，便又会出现一种奇特的现象，所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列，而奇数都成正立三角形排列，且等边三角形（偶数）的边长依次为：
3、7、15、31、63……
经过反复思考比对，我们又发出现了其中的规律即：
3=22-17=23-115=24-131=25-1
即所有的偶数依次排出以（2n-1）（nN*）的长度为边长的倒立的等边三角形。
以上种种的性质都向我们展示了杨辉三角独特的魅力，那么，它在解题中有哪些运用呢？
例：
如图5.1，有一只猫在A点，它要跑到老鼠所在的B点，要求它只能向上或向右跑，问有几种跑法。
如图，本题的背景正是著名的杨辉三角形，只需以A点为顶点，依次排出杨辉三角，容易解得共有35种走法。
这是信息学中典型的有向图的问题，或许信息学的朋友对信息题的数学解法并不陌生，但想不到还可以用杨辉三角解有向图吧！
35
15
图 5.2
（b3）
（a b3）
（a+b）2
（a+b）3
（a+b）1
（b2）
（b1）
（b0）
（a1）
（a 2b3）
（a 3b3）
（a2）
（a3）
（a4）
（a b）
（a 2b）
（a 3b）
（a b2）
（a 2b2）
（a 3b2）
（a0）
a
b
图 2.1
以上的例子还有很多很多，这里就不一一列举了，这也已经足以反映杨辉三角的魅力之所在了。
二、二维直角坐标系中的杨辉三角
为了研究方便，我借鉴平面直角坐标系将杨辉三角放了进去。
正如图所示，在平面直角坐标系里，杨辉三角成了直角三角形了。
且它还具有一个特点，就是这个平面直角坐标系是由两个直角坐标系重叠而成的。
图 7.1
21
126
70
56
图 7.2
b2
b1
b0
a 1
a b3
a 2b3
a 3b3
a 2
a 3
a b
a 2b
a 3b
a b2
a 2b2
a 3b2
a 4b3
a 4
a 5
a 4b
a 4b2
b4
b3
a b4
a 2b4
a 3b4
a 5b
a 5b2
a 5b4
a 4b4
a 5b3
一边是杨辉三角的系数的坐标系，另一边是a、b各项的次数的坐标系，当两者合并成为新的杨辉三角形时，一切的运算与规律都已经系统化了，沿着经过整点的斜率为-1的线，我们轻易地可以找到（a+b）n的系数与项数，这也就是坐标系，系统化的杨辉三角，二项式定理。
既然是在平面直角坐标系中（这里只考虑整点），点与坐标就会有一一对应的关系，这其中就必然有规律，经过我们的推理，得出了杨辉三角的平面公式。
∵本来杨辉三角第n行0、1、2、…m…n+1各数
则第（m+1）个数Pm=C,
m=yn=x+y
x=n-m
y=m
当呈直角坐标系时
P=C①
这就系统地表达了杨辉三角的内含，这更有助于我们研究其规律，及研究二项式的展开项。
三、三维直角坐标系中的杨辉三角
当研究了二维直角坐标系中的杨辉三角后，就很自然地想到三维直角坐标系，我们完全可以将3个二维直角坐标系中的杨辉三角放在一起，组成三维直角坐标系中的杨辉三角。
图 8.1
12
Y（b）
Z（c）
X（a）
正如上图，我们得到了一组在空间有序排列的数字，这就是我们的立体杨辉三角，那么，它又有哪些性质呢？
对此我们再度展开了研究与探索：
图 9.1
B
C
D
立体杨辉三角中的每一个平面内都是一个杨辉三角的平面型，所以它就包含了一般杨辉三角的所有性质，其中最主要的当然是对二项展开式系数的表示，对于（a+b）n，在面的斜线上我们依次可以找到各项系数分别是
C、C、C、C…C（n∈N*）
纵观整位体图，我们发现，以原点为顶点，过坐标轴上某一顶点截下一个正三棱锥，以下图为例
我们截下立体杨辉三角中的正三棱锥O—ABC，首先，沿底边依次有数字1，3，3，1，3，3，1，3，3，这到底有什么规律呢？
我们一时还看不出来，但仔细一算，我们还忽略了一点重要的地方，假设点O到ABC的距离为d，则有：
又
∴D在面ABC上
所以，这个三棱锥底面上的数字为1，3，3，1，3，3，1，3，3，6
同样也，我们共截下了3个正三棱锥，它们底边的数字为：
1、1、1、
1，2，1，2，1，2
1，3，3，1，3，3，1，3，3，6
这时，我们发现
我们又继续地研究，发现这确实是我们的立体杨辉三角的规律，有了它，我们可以做出三项式的展开项的系数，即，在面对这样的式子时，我们可以轻易地知道它的每一项的系数了。
在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15……这些数，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，1+2+3+4+5……称作三角形数，因为它们可以组成正三角形，如图
而我们作的各个正三棱锥的底面上的整点数（包括原点），也正好符合三角形数的原理，而且最重要的，也是与平面的杨辉三角形的联系最紧密的是，它们正好是的各项系数。
为了更清淅地观察，我们又做了立体三维的实物模型。
与平面的杨辉三角形类似，我们又做了另一个空间直角坐标系，让三条轴分别为A、B、C三轴，轴上标出它们的项数递推。
这样一来，将两个空间直角坐标系合并后，我们便能得到将系数、项数合并系统化的杨辉三角立体图。
在实物模型上，我们可以更好地分析出各数字之间的关系，但我们又把目标瞄向了杨辉三角的立体公式。
z
x
22
公式推导：
设在空间直角坐标系中有一点P（x，y，z）
首先，过y=0作x-z平面的平行截面（并以此为“标一”）
过y=1作x-z平面的平行截面
我们发现：
①当过y=y0作x-z平面的平行截面
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