量子力学作业习题Word文档下载推荐.docx

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（7）最大稳定核的半径；

（8）Π0介子的寿命；

（9）Π-介子的寿命；

（10）自由中子的寿命．

[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？

哪些实验主要证明能量交换的量子性？

哪些实验主要表明物质粒子的波动性？

简述理由．

（1）光电效应；

（2）黑体辐射谱；

（3）Franck–Hertz实验；

（4）Davisson-Ger-mer实验；

（5）Compton散射．

[5]考虑如下实验：

一束电子射向刻有A、B两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．

（1）A缝开启，B缝关闭；

（2）B缝开启，A缝关闭；

（3）两缝均开启．

[6]验算三个系数数值：

（1）；

（2）；

（3）hc

第二章波函数与Schrö

dinger方程

[1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能]

[2]一维运动的粒子处在

的状态，其中，求：

（1）粒子动量的几率分布函数；

（2）粒子动量的平均值。

[3]平面转子的转动惯量为,求能量允许值

[4].有一带电荷质量的粒子在平面运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.

[5]对高速运动的粒子（静质量）的能量和动量由下式给出

（1）

（2）

试根据哈密顿量（3）

及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.

[6].

（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律

（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：

如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理认为则这将导得下述折射定律

这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：

仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有，你怎样解决矛盾？

[7].当势能改变一常量C时,即,粒子的波函数与时间无关部分变否?

能量本征值变否?

[8].试证粒子势能的极小值是

[9].设与是薛定谔方程式两个解，证明与时间无关。

[10].考虑单粒子的薛定谔方程式：

V1，V2为实函数，证明粒子的几率不守恒。

求出在空间体积Ω，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。

[11].对于一维自由运动粒子，设求。

[12].证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即

第三章一维定态问题

[1].对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明

并证明当时上述结果与经典结论一致。

[2].试求在不对称势力阱中粒子的能级。

[3].设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动：

求粒子的能级。

[4].考虑粒子在下列势阱壁（ｘ＝０）处的反射系数

[5].试证明对于任意势垒，粒子的反射系数Ｔ满足Ｒ＋Ｔ＝１。

[6].设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：

描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。

[7].设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系：

[8].设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，求

（1）粒子取不同能量几率分布。

（2）能量平均值及涨落。

[9].一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。

[10].写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布

[11].一维谐振子处在基态，求：

（1）势能的平均值；

（2）动能的平均值；

（3）动量的几率分布函数。

[12].氢原子处在基态，求：

（1）r的平均值；

（2）势能的平均值；

（3）最可几半径；

（4）动能的平均值；

（5）动量的几率分布函数。

[13].证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是

[14].一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：

（1）转子绕一固定轴转动：

（2）转子绕一固定点转动：

[15].设t=0时，粒子的状态为

求此时粒子的平均动量和平均动能。

[16].一维运动粒子的状态是

其中，求：

（1）粒子动量的几率分布函数；

（2）粒子的平均动量。

第四章力学量和表象变化

[1]指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

①；

②；

③

[2]指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

[3]下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？

①，②，③，　④，　⑤

[4]试求算符的本征函数。

[5]设波函数，求

[6]证明：

如果算符和都是厄米的，那么（+）也是厄米的。

[7]问下列算符是否是厄米算符：

①；

②。

[8]如果算符满足关系式，求证①②

[9]求；

；

[10]设是的可微函数，证明下述各式：

（1）

（2）（3）

（4）（5）（6）

[11]证明以下诸式成立：

（1）

（2）（3）（4）

[12]为粒子角动量。

F为另一力学量，证明：

其中表示空间坐标的梯度，表示动量空间的梯度。

[13]设算符A，B与它们的对易式[A，B]都对易。

证明

（1）

（2）

[14]证明

[15]证明是厄密算符

[16]证（A等是实数）是厄密算符

[17]证明（实数）是厄密算符。

[18]证明，若当大时并不趋于0，则不一定是厄密算符。

[19]证明其中A（p,q）,B（p,q）是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。

{A,B}是经典力学中的poisson括弧在多变量情形

i=1,2,3......i自由度

[20]设F（x，p）是xk，pk的整函数，证明：

⑴;

　⑵

整函数是指，是数值系数

第五章力学量随时间的演化与对称性

[1].证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：

　　　　　　　　　　（是哈密顿量）

[2].证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。

[3].设粒子的哈密顿量为　　。

（1）证明。

（2）证明：

对于定态　　

[4].证明，对于一维波包：

[5].求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。

[6].求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。

[7].多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：

　　⑴

证明：

总动量为守恒。

　　⑵

[8].多粒子系如所受外力矩为0，则总动量为守恒。

[9].证明：

对经典力学体系，若A，B为守恒量，则{A，B}即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒量，对于量子体系若，是守恒量，则也是守恒量，但不一定是新的守恒量。

[10].对于平面转子（转动惯量I），设：

（1）试求

[11].证明周期场中的Bloch波函数

，

是的本征函数，相应的本征值是。

第六章中心立场

[1]质量分别为m,m的两个粒子组成的体系，质心座标及相对坐标为：

=

（1）；

r

（2）

试求总动量及总角动量在,表象中的算符表示。

[2]证明，

[3]中心力场中的经典粒子的哈密顿量是

其中。

当过渡到量子力学时，要换为

问是否厄米算符？

是否厄米算符。

[4]经典力学中

在量子力学中此式是否成立？

在什么条件下此式成立？

[5]求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。

利用所得结果，计算。

用x表象中的氢原子波函数计算,并验证测不准关系式。

[6]在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。

[7]设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区（E—V）=T〈0〉的几率。

[8]证明，对于库仑场，（是总能量）

[9]对于氢原子的，计算

[10]根据氢原子光谱理论，讨论

（1）“电子偶素”（指e+—e-的束缚态）的能级。

（2）μ介原子的能谱。

（3）μ介子素（指μ+-e-束缚态）的能谱。

[11]在（）表象中，的子空间是几维？

求在此子空间的矩阵表示式，再利用矩阵形式求出本征值及征矢。

[12]证明能级上满布电子的情况下，电荷分布是各向同性的。

[13]证明一个球方势阱（半径a,深度V0）恰好具有一条l≠0的能级的条件是：

V0与a应满足

[14]采用平面极座标，求出轴对称谐振子势场中，粒子能量的本征值本征函数，读者讨论简并度。

[15]设粒子在无限长的园简运动，简半径是a，求粒子的能量。

[16]粒子在半径为，高为的圆筒中运动，在筒粒子是自由的，在筒壁及筒外势能是无限，求粒子能量的本征值。

[17]设，求粒子的能量本征值。

第七章粒子在电磁场中的运动

[1].证明在磁场中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：

（3）

[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z轴方向）

[3].证明在规变换下

（机械动量的平均值）都不变（3）

[4]若采用柱座标系，求解均匀磁场中带电粒子的能量本征值。

[5]设带电粒子相互的均匀电场和均匀磁场中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z轴，电场方向为x轴方向）

[6]设带电粒子在均匀磁场及三维各向同性谐振子场

中运动，求能谱公式。

第八章：

自旋

[1]在表象中，求的本征态

[2]在表象中，求的本征态，是方向的单位矢。

[3]在自旋态下，求和

[4]一个具有两个电子的原子，处于自旋单态（s=0）。

证明自旋轨道耦合作用。

对能量无贡献。

[5]自旋为s的两个粒子所具有的，对称和反对称的自旋波函数各有几个？

情况下，对称和反对称自旋态各有几个？

[6]证明，，是与对易的矢量算符。

[7]证明：

（1）（）

（2）

其中

矢量与σ对易,θ表示θ方向的单位矢量。

[8]证明,是与对易的任何矢量算符。

[9]设证明：

（是沿矢量方向的单位矢量）

（1）

（1）

（2）

（2）

[10]证明不存在非0的二维矩阵，能和三个泡利矩阵都反对易，即设

则

[11]证明找不到一种表象，在其中

（1）三个泡利矩阵均为实矩阵或

（2）二个是纯虚矩阵，另一个为实矩阵。

[12]求证与三个泡利