最实用的对数函数复习资料经典+精练Word文档下载推荐.docx
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.
(3)对数的运算法则:
如果,那么
①·
+;
②-;
③;
④.
二、对数函数
1、对数函数的定义:
一般地,我们把函数(>0且≠1)叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
2、对数函数y=logax(a>
0且a≠1)的图象与性质:
图象
性质
定义域:
(0,+).
值域:
R.
过定点:
(1,0),即当x=1时,y=0.
当时,;
当时,.
在(0,+)上为增函数.
在(0,+)上为减函数.
3、反函数
(1)反函数:
一般地,对于函数,设它的定义域为,值域为.如果对中任意一个值,在中总是唯一确定的值与它对应,且满足,这样得到的关于的函数叫做的反函数,记作.
(2)反函数的求法:
①反解;
②与对调;
③求定义域.
(3)反函数的性质:
①原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;
②若函数的图象经过点,则其反函数的图象经过点;
③互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
(对称性)
④一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致.(单调性)
(4)同底的指数函数和对数函数互为反函数.
【典型例题】
题型一、对数运算
例题1:
计算下列各式的值:
(1);
(2).
【解析】
(1)方法一:
原式=
=
=
=.
方法二:
原式===.
(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2
=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.
【点评】这类问题一般有两种处理方法:
一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值.(计算对数的值时常用到lg2+lg5=lg10=1)
变式1:
计算:
【解析】分子=,
分母=;
所以,原式=.
题型二、对数函数的性质
例题2:
求函数的定义域.
【解析】由,得.∴所求函数定义域为{x|–1<x<0或0<x<2}.
【点评】求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑真数大于零,底数大于零且不等于1.
例题3:
判断函数f(x)=ln(-x)的奇偶性.
【解析】∵>x恒成立,故(x)的定义域为(-∞,+∞),
又∵f(-x)=ln(+x)=-ln=-ln=-ln(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
【点评】在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候,首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域,当所给函数的定义域关于原点对称时,再判断f(x)和f(-x)之间的关系.
f(x)为奇函数f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0=-1〔f(x)≠0〕;
f(x)为偶函数f(-x)=f(x)f(-x)-f(x)=0=1〔f(x)≠0〕.
在解决具体问题时,可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断.
例题4:
比较下列各组数的大小:
(1)log0.71.3和log0.71.8;
(2)log35和log64;
(3)(lgn)1.7和(lgn)2(n>1).
(1)对数函数y=log0.7x在(0,+∞)内是减函数.因为1.3<1.8,所以log0.71.3>log0.71.8.
(2)log35和log64的底数和真数都不相同,需找出中间量“搭桥”,再利用对数函数的单调性即可求解.
因为log35>log33=1=log66>log64,所以log35>log64.
(3)把lgn看作指数函数的底,本题归为比较两个指数函数的函数值的大小,故需对底数lgn讨论.
若1>lgn>0,即1<n<10时,y=(lgn)x在R上是减函数,所以(lgn)1.7>(lgn)2;
若lgn>1,即n>10时,y=(lgn)x在R上是增函数,所以(lgn)1.7<(lgn)2.
若lgn=1,即n=10时,(lgn)1.7=(lgn)2.
【点评】两个值比较大小,如果是同一函数的函数值,则可以利用函数的单调性来比较.在比较时,一定要注意底数所在范围对单调性的影响,即a>1时是增函数,0<a<1时是减函数,如果不是同一个函数的函数值,就可以对所涉及的值进行变换,尽量化为可比较的形式,必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量,以二者与第三量(一般是–1、0、1)的关系,来判断二者的关系,另外,还可利用函数图象直观判断,比较大小方法灵活多样,是对数学能力的极好训练.
变式2:
(2010重庆四月模拟)函数的定义域是()
A、B、C、D、
【解析】由题意得:
,解得:
,选A.
变式3:
设a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则a、b、c的大小顺序是()
A、a<
b<
cB、b<
c<
aC、b<
a<
cD、c<
a
【解析】因为0<
a=log0.70.8<
log0.70.7=1,b=log1.10.9<
log1.11=0,c=1.10.9>
1.10=1,所以选C.
变式4:
求函数y=log4(7+6x–x2)的单调区间和值域.
【分析】考虑函数的定义域,依据单调性的定义确定函数的单调区间,同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域.
【解析】由7+6x–x2>0,得(x–7)(x+1)<0,解得–1<x<7.∴函数的定义域为{x|–1<x<7.
设g(x)=7+6x–x2=–(x–3)2+16.可知,x<3时g(x)为增函数,x>3时,g(x)为减函数.
因此,若–1<x1<x2<3.则g(x1)<g(x2),即7+6x1–x12<7+6x2–x22,
而y=log4x为增函数,∴log4(7+6x1–x12)<log4(7+6x2–x22),即y1<y2.
故函数y=log4(7+6x–x2)的单调增区间为(–1,3),
同理可知函数y=log4(7+6x–x2)的单调减区间为(3,7).
又g(x)=–(x–3)2+16在(–1,7)上的值域为(0,16.
所以函数y=log4(7+6x–x2)的值域为(–∞,2.
【点评】函数的单调区间必须使函数有意义,因此求函数的单调区间时,必先求其定义域,然后在定义域内划分单调区间.求函数最值与求函数的值域方法是相同的,应用函数的单调性是常用方法之一.
c
d
b
1
logbx
logax
logdx
logcx
o
x
y
例题5:
根据对数函数图象判断底数的大小关系:
【解析】∵
∴直线与各函数图象交点的横坐标为底数值,
故.
【点评】利用,可以有效的解决对数函数底数大小的比较问题;
由上述结果可知,对数函数底数越小,图象在第一象限越靠近y轴.
题型三、反函数
例题6:
(2009广东)若函数是函数的反函数,且,则()
A、B、C、D、2
【解析】函数的反函数是,又,即,所以,故,选A.
【点评】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数.
题型四、对数方程与不等式
例题7:
的解为.
【解析】原方程变形为,
即,得,
∵∴,∴.
【点评】考察对数运算,注意验根,使对数式有意义.
变式5:
解关于x的不等式:
【解析】原不等式可化为,
当a>
1时,有;
当0<
1时,有.
∴当a>
1时不等式的解集为;
1时不等式的解集为.
【点评】利用对数函数单调性解不等式,注意定义域和底数的讨论.
题型五、对数函数图象和性质综合问题
例题8:
已知函数y=loga(1-ax),(a>0,a≠1).
(1)求函数的定义域与值域;
(2)求函数的单调区间;
(3)证明函数图象关于y=x对称.
(1)1-ax>0,即ax<1,
∴a>1时,定义域为(-∞,0);
0<a<1时,定义域为(0,+∞).
令t=1-ax,则0<t<1,而y=loga(1-ax)=logat.
∴a>1时,值域为(-∞,0);
0<a<1时,值域为(0,+∞).
(2)∵a>1时,t=1-ax在(-∞,0)上单调递减,y=logat关于t单调递增,
∴y=loga(1-ax)在(-∞,0)上单调递减.
∵0<a<1时,t=1-ax在(0,+∞)上单调递增,而y=logat关于t单调递减,
∴y=loga(1-ax)在(0,+∞)上单调递减.
(3)∵y=loga(1-ax),
∴ay=1-ax.
∴ax=1-ay,x=loga(1-ay).
∴反函数为y=loga(1-ax),即原函数的反函数就是自身.
∴函数图象关于y=x对称.
【点评】有关于对数函数的定义域要注意真数大于0;
函数的值域取决于1-ax的范围,可应用换元法,令t=1-ax以减小思维难度;
运用复合函数单调性的判定法求单调区间;
函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身,本题要注意对字母参数a的范围讨论.
【方法与技巧总结】
1、对数运算法则的综合运用,应掌握变形技巧:
(1)各部分变形要化到最简形式,同时注意分子、分母的联系;
(2)要避免错用对数运算性质.
2、求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质,应熟练掌握对数函数的相关性质.
3、对数式方程和不等式常用解法:
(1)形如,转化为;
(2)对于,则
当时,得,当时,得;
(3)形如或的方程或不等式,一般用换元法求解;
(4)形如的方程化为求解,对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决.
※题库题目仅供选择使用
【巩固练习】
1.(2012肇庆高三上学期期末)函数的定义域是()
A、B、C、D、
2.已知,则有()
A、B、C、D、
3.(2010北京海淀区第二学期期中)在同一坐标系中画出函数的图像,可能正确的是()
4.(2010辽宁)设,且,则()
A、B、10C、20D、100
5.函数的单调递减区间为.
6.
(1)已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg;
(2)设logax=m,logay=n,用m、n表示;
(3)已知lgx=2lga+3lgb–5lgc,求x.
7.求函数y=log2|x|的定义域,并画出它的图象.
8.比较下列各组数中两个值的大小:
(1)log23.4,log23.8;
(2)log0.51.8,log0.52.1;
(3)loga5.1,loga5.9;
(4)log75,log67.
9.设A、B是函数y=log2x图象上两点,其横坐标分别为a和a+4,直线l:
x=a+2与函数y=log2x图象交于点C,与直线AB交于点D.
(1