最实用的对数函数复习资料经典+精练Word文档下载推荐.docx

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．

（3）对数的运算法则：

如果，那么

①·

＋；

②－；

③；

④．

二、对数函数

1、对数函数的定义：

一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

2、对数函数y=logax（a>

0且a≠1）的图象与性质：

图象

性质

定义域：

（0,+）．

值域：

R．

过定点：

（1，0），即当x=1时，y=0．

当时，；

当时，．

在（0,+）上为增函数．

在（0,+）上为减函数．

3、反函数

（1）反函数：

一般地，对于函数，设它的定义域为，值域为．如果对中任意一个值，在中总是唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作．

（2）反函数的求法：

①反解；

②与对调；

③求定义域．

（3）反函数的性质：

①原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；

②若函数的图象经过点，则其反函数的图象经过点；

③互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（对称性）

④一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致．（单调性）

（4）同底的指数函数和对数函数互为反函数．

【典型例题】

题型一、对数运算

例题1：

计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【解析】

（1）方法一：

原式=

=

=

=．

方法二：

原式===．

（2）原式=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+（lg2）2

=2lg10+（lg5+lg2）2=2+（lg10）2=2+1=3．

【点评】这类问题一般有两种处理方法：

一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；

另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．（计算对数的值时常用到lg2+lg5=lg10=1）

变式1：

计算：

【解析】分子=，

分母=；

所以，原式=．

题型二、对数函数的性质

例题2：

求函数的定义域．

【解析】由，得．∴所求函数定义域为{x|–1＜x＜0或0＜x＜2}．

【点评】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1．

例题3：

判断函数f（x）=ln（－x）的奇偶性．

【解析】∵＞x恒成立，故（x）的定义域为（－∞，+∞），

又∵f（－x）=ln（+x）=－ln=－ln=－ln（－x）=－f（x），

∴f（x）为奇函数．

【点评】在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和f（－x）之间的关系．

f（x）为奇函数f（－x）=－f（x）f（x）+f（－x）=0=－1〔f（x）≠0〕；

f（x）为偶函数f（－x）=f（x）f（－x）－f（x）=0=1〔f（x）≠0〕．

在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断．

例题4：

比较下列各组数的大小：

（1）log0.71.3和log0.71.8；

（2）log35和log64；

（3）（lgn）1.7和（lgn）2（n＞1）．

（1）对数函数y=log0.7x在（0,+∞）内是减函数．因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8．

（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．

因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．

（3）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．

若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1.7＞（lgn）2；

若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）x在R上是增函数，所以（lgn）1.7＜（lgn）2．

若lgn=1，即n=10时，（lgn）1.7=（lgn）2．

【点评】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较．在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练．

变式2：

（2010重庆四月模拟）函数的定义域是（）

A、B、C、D、

【解析】由题意得：

，解得：

，选A．

变式3：

设a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a、b、c的大小顺序是（）

A、a<

b<

cB、b<

c<

aC、b<

a<

cD、c<

a

【解析】因为0<

a＝log0.70.8<

log0.70.7＝1，b＝log1.10.9<

log1.11＝0，c＝1.10.9>

1.10＝1，所以选C．

变式4：

求函数y=log4（7+6x–x2）的单调区间和值域．

【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域．

【解析】由7+6x–x2＞0，得（x–7）（x+1）＜0，解得–1＜x＜7．∴函数的定义域为{x|–1＜x＜7．

设g（x）=7+6x–x2=–（x–3）2+16.可知，x＜3时g（x）为增函数，x＞3时，g（x）为减函数.

因此，若–1＜x1＜x2＜3.则g（x1）＜g（x2），即7+6x1–x12＜7+6x2–x22，

而y=log4x为增函数，∴log4（7+6x1–x12）＜log4（7+6x2–x22），即y1＜y2．

故函数y=log4（7+6x–x2）的单调增区间为（–1,3），

同理可知函数y=log4（7+6x–x2）的单调减区间为（3,7）．

又g（x）=–（x–3）2+16在（–1,7）上的值域为（0,16．

所以函数y=log4（7+6x–x2）的值域为（–∞,2．

【点评】函数的单调区间必须使函数有意义，因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间．求函数最值与求函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一．

c

d

b

1

logbx

logax

logdx

logcx

o

x

y

例题5：

根据对数函数图象判断底数的大小关系：

【解析】∵

∴直线与各函数图象交点的横坐标为底数值，

故．

【点评】利用，可以有效的解决对数函数底数大小的比较问题；

由上述结果可知，对数函数底数越小，图象在第一象限越靠近y轴．

题型三、反函数

例题6：

（2009广东）若函数是函数的反函数，且，则（）

A、B、C、D、2

【解析】函数的反函数是，又，即，所以，故，选A．

【点评】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数．

题型四、对数方程与不等式

例题7：

的解为．

【解析】原方程变形为，

即，得，

∵∴，∴．

【点评】考察对数运算，注意验根，使对数式有意义．

变式5：

解关于x的不等式：

【解析】原不等式可化为，

当a>

1时，有；

当0<

1时，有．

∴当a>

1时不等式的解集为；

1时不等式的解集为．

【点评】利用对数函数单调性解不等式，注意定义域和底数的讨论．

题型五、对数函数图象和性质综合问题

例题8：

已知函数y=loga（1－ax），（a＞0，a≠1）．

（1）求函数的定义域与值域；

（2）求函数的单调区间；

（3）证明函数图象关于y=x对称．

（1）1－ax＞0，即ax＜1，

∴a＞1时，定义域为（－∞，0）；

0＜a＜1时，定义域为（0，+∞）．

令t=1－ax，则0＜t＜1，而y=loga（1－ax）=logat．

∴a＞1时，值域为（－∞，0）；

0＜a＜1时，值域为（0，+∞）．

（2）∵a＞1时，t=1－ax在（－∞，0）上单调递减，y=logat关于t单调递增，

∴y=loga（1－ax）在（－∞，0）上单调递减．

∵0＜a＜1时，t=1－ax在（0，+∞）上单调递增，而y=logat关于t单调递减，

∴y=loga（1－ax）在（0，+∞）上单调递减．

（3）∵y=loga（1－ax），

∴ay=1－ax．

∴ax=1－ay，x=loga（1－ay）．

∴反函数为y=loga（1－ax），即原函数的反函数就是自身．

∴函数图象关于y=x对称．

【点评】有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；

函数的值域取决于1－ax的范围，可应用换元法，令t=1－ax以减小思维难度；

运用复合函数单调性的判定法求单调区间；

函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论．

【方法与技巧总结】

1、对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：

（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；

（2）要避免错用对数运算性质．

2、求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质，应熟练掌握对数函数的相关性质．

3、对数式方程和不等式常用解法：

（1）形如，转化为；

（2）对于，则

当时，得，当时，得；

（3）形如或的方程或不等式，一般用换元法求解；

（4）形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决．

※题库题目仅供选择使用

【巩固练习】

1．（2012肇庆高三上学期期末）函数的定义域是（）

A、B、C、D、

2．已知，则有（）

A、B、C、D、

3．（2010北京海淀区第二学期期中）在同一坐标系中画出函数的图像，可能正确的是（）

4．（2010辽宁）设，且，则（）

A、B、10C、20D、100

5．函数的单调递减区间为．

6．

（1）已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求lg；

（2）设logax=m，logay=n，用m、n表示；

（3）已知lgx=2lga+3lgb–5lgc，求x．

7．求函数y=log2|x|的定义域，并画出它的图象．

8．比较下列各组数中两个值的大小：

（1）log23.4，log23.8；

（2）log0.51.8，log0.52.1；

（3）loga5.1，loga5.9；

（4）log75，log67．

9．设A、B是函数y=log2x图象上两点，其横坐标分别为a和a+4，直线l：

x=a+2与函数y=log2x图象交于点C，与直线AB交于点D．

（1