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1、（3）对数的运算法则：如果，那么；二、对数函数1、对数函数的定义：一般地，我们把函数（0且1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）2、对数函数y=logax（a0且a1）的图象与性质：图象性质定义域：（0,+）值域：R过定点：（1，0），即当x=1时，y=0当时，；当时，在（0,+）上为增函数在（0,+）上为减函数3、反函数（1）反函数：一般地，对于函数，设它的定义域为，值域为如果对中任意一个值，在中总是唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作（2）反函数的求法：反解；与对调；求定义域（3）反函数的性质：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反

2、函数的定义域；若函数的图象经过点，则其反函数的图象经过点；互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称；（对称性） 一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致（单调性） （4）同底的指数函数和对数函数互为反函数【典型例题】题型一、对数运算 例题1：计算下列各式的值：（1）； （2）【解析】（1）方法一：原式= =方法二：原式=（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 （2lg2 + lg5） + （lg2）2 =2lg10 + （lg5 + lg2）2 = 2 + （lg10）2 = 2 + 1 = 3【点评】这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它

3、们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值（计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1）变式1： 计算：【解析】分子=，分母= ；所以，原式=题型二、对数函数的性质 例题2：求函数的定义域【解析】由，得 所求函数定义域为x| 1x0或0x2【点评】求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑真数大于零，底数大于零且不等于1例题3：判断函数f（x）=ln（x）的奇偶性【解析】x恒成立，故（x）的定义域为（，+），又f （x）=ln（+x）=ln=ln=ln（x）=f （x），f

4、（x）为奇函数【点评】在根据函数的单调性的定义判断函数单调性的时候，首先应该根据函数的解析式确定函数的定义域，当所给函数的定义域关于原点对称时，再判断f（x）和f（x）之间的关系f（x）为奇函数f（x）=f（x）f（x）+f（x）=0=1f（x）0；f（x）为偶函数f（x）=f（x）f（x）f（x）=0=1f（x）0在解决具体问题时，可以根据函数解析式的具体特点选择不同的方式来判断例题4：比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8； （2）log35和log64； （3）（lgn）1.7和（lgn）2 （n1） （1）对数函数y = log0.7x在（0, +）内是减

5、函数因为1.31.8，所以log0.71.3log0.71.8（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解因为log35log33 = 1 = log66log64，所以log35log64（3）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论若1lgn0，即1n10时，y = （lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1.7（lgn）2；若lgn1，即n10时，y = （lgn）x在R上是增函数，所以（lgn）1.7（lgn）2若lgn = 1，即n = 10时，（lgn）1.7 = （lgn）2

6、【点评】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a1时是增函数，0a1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练变式2：（2010重庆四月模拟）函数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、【解析】由题意得：，解得：，选A变式3：设alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，则

7、a、b、c的大小顺序是（ ）A、abc B、bca C、bac D、ca【解析】因为0alog0.70.8log0.70.71，blog1.10.91.101，所以选C变式4：求函数y = log4 （7 + 6 x x2）的单调区间和值域【分析】考虑函数的定义域，依据单调性的定义确定函数的单调区间，同时利用二次函数的基本理论求得函数的值域【解析】由7 + 6 x x20，得（x 7） （x + 1）0，解得1x7函数的定义域为x|1x7设g （x） = 7 + 6x x2 = （x 3）2 + 16. 可知，x3时g （x）为增函数，x3时，g （x）为减函数.因此，若1x1x23. 则g

8、（x1）g （x2），即7 + 6x1 x127 + 6x2 x22，而y = log4x为增函数，log4 （7 + 6 x1 x12）log4 （7 + 6x2 x22），即y1y2 故函数y = log4 （7 + 6x x2）的单调增区间为（1, 3），同理可知函数y = log4 （7 + 6x x2）的单调减区间为（3, 7）又g （x） = （x 3）2 + 16在（1, 7）上的值域为（0, 16所以函数y = log4（7 + 6x x2）的值域为 （, 2【点评】函数的单调区间必须使函数有意义，因此求函数的单调区间时，必先求其定义域，然后在定义域内划分单调区间求函数最值与求

9、函数的值域方法是相同的，应用函数的单调性是常用方法之一cdb1logbxlogaxlogdxlogcxoxy例题5：根据对数函数图象判断底数的大小关系：【解析】直线与各函数图象交点的横坐标为底数值，故【点评】利用，可以有效的解决对数函数底数大小的比较问题；由上述结果可知，对数函数底数越小，图象在第一象限越靠近y轴题型三、反函数例题6 ：（2009广东）若函数是函数的反函数，且，则（ ）A、 B、 C、 D、2 【解析】函数的反函数是，又，即，所以，故，选A【点评】利用同底的指数函数与对数函数互为反函数题型四、对数方程与不等式例题7：的解为 【解析】原方程变形为，即，得， ， 【点评】考察对数运

10、算，注意验根，使对数式有意义变式5：解关于x的不等式：【解析】原不等式可化为，当a1时，有；当01时不等式的解集为；1时不等式的解集为【点评】利用对数函数单调性解不等式，注意定义域和底数的讨论题型五、对数函数图象和性质综合问题 例题8：已知函数y=loga（1ax），（a0，a1） （1）求函数的定义域与值域；（2）求函数的单调区间；（3）证明函数图象关于y=x对称（1）1ax0，即ax1，a1时，定义域为（，0）；0a1时，定义域为（0，+）令t=1ax，则0t1，而y=loga（1ax）=logata1时，值域为（，0）；0a1时，值域为（0，+）（2）a1时，t=1ax在（，0）上单调递

11、减，y=logat关于t单调递增，y=loga（1ax）在（，0）上单调递减0a1时，t=1ax在（0，+）上单调递增，而y=logat关于t单调递减，y=loga（1ax）在（0，+）上单调递减（3）y=loga（1ax），ay=1axax=1ay，x=loga（1ay）反函数为y=loga（1ax），即原函数的反函数就是自身函数图象关于y=x对称【点评】有关于对数函数的定义域要注意真数大于0；函数的值域取决于1ax的范围，可应用换元法，令t=1ax以减小思维难度；运用复合函数单调性的判定法求单调区间；函数图象关于y=x对称等价于原函数的反函数就是自身，本题要注意对字母参数a的范围讨论【方法

12、与技巧总结】1、对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧：（1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（2）要避免错用对数运算性质2、求对数函数的定义域、值域、单调区间、及奇偶性的判定都依赖于定义法、数形结合及函数本身的性质，应熟练掌握对数函数的相关性质3、对数式方程和不等式常用解法：（1）形如，转化为；（2）对于，则当时，得， 当时，得；（3）形如或的方程或不等式，一般用换元法求解；（4）形如的方程化为求解，对于的形式可以考虑利用对数函数的单调性来解决 题库题目仅供选择使用【巩固练习】1（2012肇庆高三上学期期末）函数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、2已知，则有 （ ）A

13、、 B、 C、 D、3（2010北京海淀区第二学期期中）在同一坐标系中画出函数的图像，可能正确的是（ ）4（2010辽宁）设，且，则（ ）A、 B、10 C、20 D、1005函数的单调递减区间为 6（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg；（2）设logax = m，logay = n，用m、n表示；（3）已知lgx = 2lga + 3lgb 5lgc，求x7求函数y = log2|x|的定义域，并画出它的图象8比较下列各组数中两个值的大小：（1）log23.4，log23.8； （2）log0.51.8，log0.52.1；（3）loga5.1，loga5.9； （4）log75，log67 9设A、B是函数y= log2x图象上两点，其横坐标分别为a和a+4，直线l：x=a+2与函数y= log2x图象交于点C，与直线AB交于点D（1