教育学习文章高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案Word文档格式.docx
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3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
由
,
分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
提醒:
在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以()为例):
①范围:
;
②焦点:
两个焦点;
③对称性:
两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;
④准线:
两条准线;
⑤离心率:
,椭圆
,越小,椭圆越圆;
越大,椭圆越扁。
(2)双曲线(以()为例):
或;
两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;
,双曲线
,等轴双曲线
,越小,开口越小,越大,开口越大;
⑥两条渐近线:
。
(3)抛物线(以为例):
一个焦点,其中的几何意义是:
焦点到准线的距离;
一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
一条准线;
,抛物线
。
5、点和椭圆()的关系:
(1)点在椭圆外
;
(2)点在椭圆上
=1;
(3)点在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
直线与椭圆相交;
直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;
直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
(2)相切:
直线与椭圆相切;
直线与双曲线相切;
直线与抛物线相切;
(3)相离:
直线与椭圆相离;
直线与双曲线相离;
直线与抛物线相离。
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;
如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;
②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;
③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:
一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;
④P为原点时不存在这样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:
,当即为短轴端点时,的最大值为bc;
对于双曲线。
如
(1)短轴长为,
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:
(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;
(2)设AB为焦点弦,m为准线与x轴的交点,则∠AmF=∠BmF;
(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为A,B,若P为AB的中点,则PA⊥PB;
(4)若Ao的延长线交准线于c,则Bc平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于c点,则A,o,c三点共线。
9、弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=,若弦AB所在直线方程设为,则=。
特别地,焦点弦(过焦点的弦):
焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
抛物线:
在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=;
在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率k=。
因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验!
11.了解下列结论
(1)双曲线的渐近线方程为;
(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为为参数,≠0)。
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为,焦准距为;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物线的焦点弦为AB,,则①;
②
(7)若oA、oB是过抛物线顶点o的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1)给出直线的方向向量或;
(2)给出与相交,等于已知过的中点;
(3)给出,等于已知是的中点;
(4)给出,等于已知与的中点三点共线;
(5)给出以下情形之一:
①;
②存在实数;
③若存在实数,等于已知三点共线.
(6)给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角,
(8)给出,等于已知是的平分线/
(9)在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;
(10)在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;
(11)在中,给出,等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12)在中,给出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
(13)在中,给出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
(14)在中,给出
等于已知通过的内心;
(15)在中,给出等于已知是的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
(16)在中,给出,等于已知是中边的中线;
(3)已知A,B为抛物线x2=2py上异于原点的两点,,点c坐标为(0,2p)
(1)求证:
A,B,c三点共线;
(2)若=()且试求点m的轨迹方程。
(1)证明:
设,由得
,又
,,即A,B,c三点共线。
(2)由
(1)知直线AB过定点c,又由及=()知om&
#61534;
AB,垂足为m,所以点m的轨迹为以oc为直径的圆,除去坐标原点。
即点m的轨迹方程为x2+2=p2。
13.圆锥曲线中线段的最值问题:
例1、抛物线c:
y2&
not;
=4x上一点P到点A与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
抛物线c:
=4x上一点Q到点B与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为
分析:
(1)A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。
解:
(1)(2,)
(2)()
、已知椭圆c1的方程为,双曲线c2的左、右焦点分别为c1的左、右顶点,而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点。
求双曲线c2的方程;
若直线l:
与椭圆c1及双曲线c2恒有两个不同的交点,且l与c2的两个交点A和B满足,求k的取值范围。
解:
(Ⅰ)设双曲线c2的方程为,则
故c2的方程为(II)将
由直线l与椭圆c1恒有两个不同的交点得
即
①
.由直线l与双曲线c2恒有两个不同的交点A,B得
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范围为
在平面直角坐标系xoy中,已知点A,B点在直线y=-3上,m点满足mB//oA,mA&
#8226;
AB=mB&
BA,m点的轨迹为曲线c。
(Ⅰ)求c的方程;
(Ⅱ)P为c上的动点,l为c在P点处得切线,求o点到l距离的最小值。
设m,由已知得B,A.所以=(-x,-1-y),
=,
=.再由愿意得知(+)&
=0,即(-x,-4-2y)&
=0.
所以曲线c的方程式为y=x-2.设P为曲线c:
y=x-2上一点,因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为,即。
则o点到的距离.又,所以
当=0时取等号,所以o点到距离的最小值为2.
设双曲线(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于
设双曲线的一条渐近线,则双曲线的离心率为.
过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为
已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上.则&
=0
已知直线与抛物线相交于两点,为的焦点,若,则
已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是(
)
设已知抛物线c的顶点在坐标原点,焦点为F,直线l与抛物线c相交于A,B两点。
若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_____________.
椭圆的焦点为,点P在椭圆上,若,则
的大小为
.
过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则________________
【解析】设切点,则切线的斜率为.由题意有又解得:
双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,
由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且或.不妨去,则,.
∴&
=
【解析】设抛物线的准线为直线
恒过定点P
.如图过分别作于,于,由,则,点B为AP的中点.连结,则,
点的横坐标为,故点的坐标为
,故选D
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2.
PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.
6.
若在椭圆外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.
7.
椭圆
的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦