高三吉林长春市届高三《数学》上学期第四次模拟考试试题理含答案Word文档格式.docx
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(第3题)(第4题)
5.已知点M(a,b)在圆O:
x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是( )
A.相切B.相交C.相离D.不确定
6.已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为( )
A.5B.4C.D.2
7.已知f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+2f
(2),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且f
(1)=2,则f(2019)等于( )
A.2B.3C.-2D.-3
8.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像,若对满足的,,有,则()
A.B.C.D.
9.已知数列为等比数列,且,则的值为()
10.在中,角所对的边分别为,若,则当角取得最大值时,的周长为()
11.已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且错误!
未找到引用源。
则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()
A.B.C.D.
12.已知函数,如果存在实数,其中,使得
,则的取值范围是()
第Ⅱ卷
二、填空题:
(本大题共4小题,每小题5分.)
13.已知定义在R上的函数f(x)=关于x的方程f(x)=c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1,x2,x3,则x1+x2+x3=________.
14.已知数列{an}满足a1=1,an+1·
an=2n(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Sn,则S100=.
15.已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为3的球面上,且PA,PB,PC两两互相垂直,则三棱锥P-ABC的侧面积的最大值为________。
16.在且错误!
,函数的最小值为,则的最小值为______.
三、解答题:
(本大题共6小题,其中17-21小题为必考题,每小题12分;
第22—23题为选考题,考生根据要求做答,每题10分)
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求cosB的值.
(2)若错误!
·
错误!
=2,且b=2错误!
,求a和c的值.
18.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥中,底面为等边三角形,,为的中点.
(1)求;
(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足S=an。
(1)求Sn的表达式;
.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆:
的长轴长为,且椭圆与圆:
的公共弦长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)经过原点作直线(不与坐标轴重合)交椭圆于,两点,轴于点,点在椭圆上,且,求证:
,,三点共线..
21.(本小题满分12分)
函数,.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若对,恒成立,求整数的最大值.
请考生在22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-45:
参数方程极坐标选讲
以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程与圆的直角坐标方程;
(2)设曲线与直线交于两点,若点的直角坐标为,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数.
(1)解不等式;
(2)若对于任意,都有,使得成立,求实数的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
C
A
13.【答案】014.【答案】错误!
15.【答案】:
1816.【答案】:
17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.
由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,
所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=错误!
18.已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足S=an。
(2)设bn=,求{bn}的前n项和Tn。
①式两边同除以Sn-1·
Sn,得-=2,
∴数列是首项为==1,公差为2的等差数列。
∴=1+2(n-1)=2n-1,
∴Sn=。
19.如图,在四棱锥中,底面为等边三角形,,为的中点.
【答案】
(1)AB=1;
(Ⅱ).
【解析】
试题解析:
(1)连接AC,因为PA⊥底面ABCD,平面ABCD,所以PA⊥BC,又因为PB⊥BC,,所以BC⊥底面PAB,因为平面PAB,所以AB⊥BC,因为△BCD为等边三角形,所以∠ABD=30°
.又已知AB=AD,BD=,可得AB=1.
(Ⅱ)分别以BC,BA所在直线为x,y轴,过B且平行PA的直线为z轴建立空间直角坐标系.P(0,1,),C(,0,0),E(,,),D(,,0).由题意可知平面PAB的法向量为m=(1,0,0).
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则即则n=(3,-,-2).
cosm,n==.所以平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值.
20.已知椭圆:
【解析】试题分析:
(1)根据题意列出关于、、的方程组,结合性质,,求出、、,即可得结果;
(2)设,,则,.
因为点,都在椭圆上,所以,利用“点差法”证明,即可得结论.
(1)由题意得,则.
由椭圆与圆:
的公共弦长为,其长度等于圆的直径,
可得椭圆经过点,所以,解得.所以椭圆的方程为.
(2)证明:
设,,则,.
因为点,都在椭圆上,所以所以,
即.又,
所以,即,所以所以
又,所以,所以,,三点共线.
21.函数,.
(1)求出,从而可得,,利用点斜式可得结果;
(2)对,恒成立等价于对恒成立,利用导数研究函数的单调性,结合为正数这一条件可得结果.
(1)由得,
当时,,,,求得切线方程为.
(2)若对,恒成立等价于对恒成立,
设函数,则,
再设函数,则.∵,,即在上为增函数,
又,,所以存在,使得,
∴当时,,即,故在上递减;
当时,,即,故在上递增.
∴的最小值为.
由得.所以,
所以,又,故整数的最大值为3.
22.以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.
(1)直线的普通方程为:
,C的直角坐标方程为;
(2).
试题分析:
(1)消去参数可得直线的普通方程,由公式可化极坐标方程为直角坐标方程;
(2)直线的参数方程是过点的标准参数方程,因此把直线参数方程代入圆的直角坐标方程,方程的解,则,由韦达定理可得.
,
,所以.
所以曲线C的直角坐标方程为(或写成)..
(2)点P(2,1)在直线上,且在圆C内,把代入,得,设两个实根为,则,即异号.
所以.
考点:
参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线参数方程的应
23.选修4-5:
(1)
(2)或.
(1)根据绝对值几何意义得,再根据绝对值定义得,即得不等式解集,
(2)原命题等价于,利用绝对值三角不等式求值域:
而,所以,再根据绝对值定义求不等式解集得实数的取值范围.
(1)由,得,
得解集为.
(2)因为任意,都有,使得成立,所以,
又,
所以,解得或,所以实数的取值范围为或.