北师大版九年级数学上《四边形》讲义Word文件下载.docx

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③你能从菱形的轴对称性中得到菱形所具有的特有的性质吗？

活动二：

对比菱形与平行四边形的对角线

菱形的对角线：

平行四边的对角线：

活动三：

菱形性质的应用

1.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。

2.如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°

沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。

随堂练习：

一、填空

（1）菱形的两条对角线长分别是12cm，16cm，它的周长等于，面积等于。

（2）菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3：

2，菱形的四个内角是。

（3）已知：

菱形的周长是20cm，两个相邻的角的度数比为1：

2，则较短的对角线长是。

（4）已知：

菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是。

二、解答题

已知：

如图，在菱形ABCD中，周长为8cm，∠BAD=1200对角线AC，BD交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。

菱形的性质作业

1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等

2、菱形的周长为100cm，一条对角线长为14cm，它的面积是（）

A.168cm2B.336cm2C.672cm2D.84cm2

3、下列语句中，错误的是（）

A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴

B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到

C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到

D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到

4、菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____，面积为______．

5、四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，已知AB＝5,AO＝4，求对角线BD

和菱形ABCD的面积.

6、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=120°

，则BD：

AC等于（）．

（A）：

2（B）：

3（C）1：

2（D）：

1

7、菱形ABCD的周长为20cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。

8、如下图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝16cm，BD＝12cm，

求菱形ABCD的高DH。

9、如图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°

，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E

为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．

10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：

2，周长是48cm．求

（1）两条对角线的长度；

（2）菱形的面积．

11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（　　）

A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）

C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）

12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（　　）

A．3：

1B．4：

1C．5：

1D．6：

13、如下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作

OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=　_________　．

14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，

则菱形ABCD的面积为　　cm2．

2.菱形的判定

A

1.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?

借助以下图形探索：

如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱形.

证明：

B

C

D

我发现,的四边形是菱形。

2.如下图,在□ABCD中,若AC⊥BD,则□ABCD是什么图形?

我发现,的平行四边形四边形是菱形.

菱形的判定方法:

1、的四边形是菱形

符号语言

2、的平行四边形是菱形

例1.□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4,OB=3.求证：

□ABCD是菱形。

随堂练习

1、一个平行四边形的一条边长是15，两条对角线的长分别是12和9，这是一个特殊的平行四边形吗？

为什么？

求它的面积。

2、如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个菱形吗？

3、如图，AE∥BF，AC平分∠BAD,且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：

四边形ABCD是菱形。

菱形的判定作业

1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）

A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等

C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角

2、平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=,AO=2,OB=1.四边形ABCD是菱形吗？

3、如图，AD是△ABC的角平分线。

DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.

四边形AEDF是菱形吗？

说明你的理由。

4、如图，□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？

5、已知DE∥AC、DF∥AB，添加下列条件后，不能判断四边形DEAF为菱形的是（）

A.AD平分∠BAC

B.AB＝AC＝且BD＝CD

C.AD为中线

D.EF⊥AD

6如图，已知四边形ABCD为菱形，AE＝CF.求证：

四边形BEDF为菱形。

7、已知ABCD为平行四边形纸片，要想用它剪成一个菱形。

小刚说只要过BD中点作BD的垂线交AD、BC于E、F，沿BE、DF剪去两个角，所得的四边形BFDE为菱形。

你认为小刚的方法对吗？

9、如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC⊥BD，点M、N分别在BD、AC上，且AO＝ON＝NC，BM＝MO＝OD.求证：

BC＝2DN

3.矩形的性质

一、定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形具有一般平行四边形的所有性质，它还具有特殊的性质：

1.已知：

四边形ABCD是矩形．求证：

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°

2.已知：

AC＝DB

定理矩形的四个角都是直角

定理矩形的对角线相等

二、交流讨论

如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为O，那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？

它与AC有什么大小关系？

推论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

三、巩固练习

1.矩形除了具备平行四边形的性质外，还有一些特殊性质：

四个角，对角线。

2.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若，则。

3、已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结矩形四边中点所形成的四边形的面积是__________.

4、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O已知∠AOD＝120°

，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。

矩形的性质作业

1．矩形具备而平行四边形不具有的性质是（）

A．对角线互相平分B．邻角互补C．对角相等D．对角线相等

2．在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（）

A．对角线互相平分且相等B．四个角相等

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．对角线互相垂直平分

3、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，AB＝OA＝4cm，求BD与AD的长.

4、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°

，AB＝2，则矩形的对角线AC的长是______.

5、已知：

△ABC的两条高为BE和CF，点M为BC的中点.求证：

ME＝MF

6、如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分∠BAD,若∠EAO＝15°

求∠BOE的度数．

7、把一张长方形的纸片按右上图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的读度为（）

A．85°

B．90°

C．95°

D．100°

8、如右图所示，把两个大小完全一样的矩形拼成“L”形图案，则∠FAC=_______，∠FCA=________．

9、如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等

的四边形有（）

A．3对B．4对C．5对D．6对

10、如图，矩形ABCD的周长为68，它被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）

A．98B．196C．280D．284

11、如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。

12、如图，折叠矩形，使AD边与对角线BD重合，折痕是DG，点A的对应点是E，若AB=2，BC=1，

求AG.

13、【提高题】

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.

（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，

PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.

4.矩形的判定

在平行四边形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：

平行四边形ABCD是矩形。

判定定理1：

对角线相等的平行四边形是矩形。

一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？

判定定理2：

有三个角是直角的四边形是矩形。

1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）．

A．AB∥CD，AB=CD，AC=BDB．∠A=∠B=∠D=90°

C．AB=BC，AD=CD，且∠C=90°

D．AB=CD，AD=BC，∠A=90°

2．已知点A、B、C、D在同一平面内，有6个条件：

①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥AD，④BC=AD，⑤AC=BD，⑥∠A=90°

．从这6个条件中选出（直接填写序号）_______3个，能使四边形ABCD是矩形．

3．已知：

如图，在ABCD中，O为边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．求证：

ABCD是矩形．

4．已知：

如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．求证：

四边形BMDN是矩形．

矩形的判定作业

1、下列说法图形不正确的是（）

A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形

C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

2、四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（）

A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°

B．AO=CO，BO=DO，