gcd（m,n）=gcd（n,m）
并且这种交换处理只发生一次.
7.a.对于所有1≤m,n≤10的输入,Euclid算法最少要做几次除法?
（1次）
b.对于所有1≤m,n≤10的输入,Euclid算法最多要做几次除法?
（5次）
gcd（5,8）
习题1.2
1.（农夫过河）
P—农夫W—狼G—山羊C—白菜
2.（过桥问题）
1,2,5,10---分别代表4个人,f—手电筒
4.对于任意实系数a,b,c,某个算法能求方程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码（可以假设sqrt（x）是求平方根的函数）
算法Quadratic（a,b,c）
//求方程ax^2+bx+c=0的实根的算法
//输入:
实系数a,b,c
//输出:
实根或者无解信息
Ifa≠0
D←b*b-4*a*c
IfD>0
temp←2*a
x1←（-b+sqrt（D））/temp
x2←（-b-sqrt（D））/temp
returnx1,x2
elseifD=0return–b/（2*a）
elsereturn“norealroots”
else//a=0
ifb≠0return–c/b
else//a=b=0
ifc=0return“norealnumbers”
elsereturn“norealroots”
5.描述将十进制整数表达为二进制整数的标准算法
a.用文字描述
b.用伪代码描述
解答：
a.将十进制整数转换为二进制整数的算法
输入：
一个正整数n
输出：
正整数n相应的二进制数
第一步：
用n除以2，余数赋给Ki（i=0,1,2...），商赋给n
第二步：
如果n=0，则到第三步，否则重复第一步
第三步：
将Ki按照i从高到低的顺序输出
b.伪代码
算法DectoBin（n）
//将十进制整数n转换为二进制整数的算法
//输入：
正整数n
//输出：
该正整数相应的二进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中
i=1
whilen!
=0do{
Bin[i]=n%2;
n=（int）n/2;
i++;
}
whilei!
=0do{
printBin[i];
i--;
}
9.考虑下面这个算法,它求的是数组中大小相差最小的两个元素的差.（算法略）
对这个算法做尽可能多的改进.
算法MinDistance（A[0..n-1]）
//输入:
数组A[0..n-1]
//输出:
thesmallestdistancedbetweentwoofitselements
习题1.3
1.考虑这样一个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每一个元素,计算比它小的元素个数,然后利用这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.
a.应用该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序
b.该算法稳定吗?
c.该算法在位吗?
解:
a.该算法对列表”60,35,81,98,14,47”排序的过程如下所示:
b.该算法不稳定.比如对列表”2,2*”排序
c.该算法不在位.额外空间forSandCount[]
4.（古老的七桥问题）
习题1.4
1.请分别描述一下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度.
a.删除数组的第i个元素（1<=i<=n）
b.删除有序数组的第i个元素（依然有序）
hints:
a.Replacetheithelementwiththelastelementanddecreasethearraysizeof1
b.Replacetheithelementwithaspecialsymbolthatcannotbeavalueofthearray’selement（e.g.,0foranarrayofpositivenumbers）tomarktheithpositionisempty.
（“lazydeletion”）
第2章
习题2.1
7.对下列断言进行证明:
（如果是错误的,请举例）
a.如果t（n）∈O（g（n）,则g（n）∈Ω（t（n））
b.α>0时,Θ（αg（n））=Θ（g（n））
解:
a.这个断言是正确的。
它指出如果t（n）的增长率小于或等于g（n）的增长率，那么g（n）的增长率大于或等于t（n）的增长率
由t（n）≤c·g（n）foralln≥n0,wherec>0
则：
foralln≥n0
b.这个断言是正确的。
只需证明。
设f（n）∈Θ（αg（n））,则有：
foralln>=n0,c>0
foralln>=n0,c1=cα>0
即：
f（n）∈Θ（g（n））
又设f（n）∈Θ（g（n））,则有：
foralln>=n0,c>0
foralln>=n0,c1=c/α>0
即：
f（n）∈Θ（αg（n））
8．证明本节定理对于下列符号也成立：
a.Ω符号
b.Θ符号
证明：
a。
weneedtoproofthatift1（n）∈Ω（g1（n））andt2（n）∈Ω（g2（n））,thent1（n）+t2（n）∈Ω（max{g1（n）,g2（n）}）。
由t1（n）∈Ω（g1（n）），
t1（n）≥c1g1（n）foralln>=n1,wherec1>0
由t2（n）∈Ω（g2（n）），
T2（n）≥c2g2（n）foralln>=n2,wherec2>0
那么，取c>=min{c1,c2},当n>=max{n1,n2}时：
t1（n）+t2（n）≥c1g1（n）+c2g2（n）
≥cg1（n）+cg2（n）≥c[g1（n）+g2（n）]
≥cmax{g1（n）,g2（n）}
所以以命题成立。
b.t1（n）+t2（n）∈Θ（
证明：
由大Ⓗ的定义知，必须确定常数c1、c2和n0，使得对于所有n>=n0，有：
由t1（n）∈Θ（g1（n））知，存在非负整数a1,a2和n1使：
a1*g1（n）<=t1（n）<=a2*g1（n）-----
（1）
由t2（n）∈Θ（g2（n））知，存在非负整数b1,b2和n2使：
b1*g2（n）<=t2（n）<=b2*g2（n）-----
（2）
（1）+
（2）:
a1*g1（n）+b1*g2（n）<=t1（n）+t2（n）<=a2*g1（n）+b2*g2（n）
令c1=min（a1,b1）,c2=max（a2,b2），则
C1*（g1+g2）<=t1（n）+t2（n）<=c2（g1+g2）-----（3）
不失一般性假设max（g1（n）,g2（n））=g1（n）.
显然，g1（n）+g2（n）<2g1（n），即g1+g2<2max（g1,g2）
又g2（n）>0，g1（n）+g2（n）>g1（n）,即g1+g2>max（g1,g2）。
则（3）式转换为：
C1*max（g1,g2）<=t1（n）+t2（n）<=c2*2max（g1,g2）
所以当c1＝min（a1,b1）,c2＝2c2=2max（c1,c2），n0＝max（n1,n2）时，当n>=n0时上述不等式成立。
证毕。
习题2.4
1.解下列递推关系（做a,b）
当n>1时
a.
解：
当n>1时
b.
解：
2.对于计算n!
的递归算法F（n），建立其递归调用次数的递推关系并求解。
解：
3.考虑下列递归算法，该算法用来计算前n个立方的和：
S（n）=13+23+…+n3。
算法S（n）
//输入：
正整数n
//输出：
前n个立方的和
ifn=1return1
elsereturnS（n-1）+n*n*n
a.建立该算法的基本操作次数的递推关系并求解
b.如果将这个算法和直截了当的非递归算法比，你做何评价？
解：
a.
7.a.请基于公式2n=2n-1+2n-1，设计一个递归算法。
当n是任意非负整数的时候，该算法能够计算2n的值。
b.建立该算法所做的加法运算次数的递推关系并求解
c.为该算法构造一棵递归调用树，然后计算它所做的递归调用次数。
d.对于该问题的求解来说，这是一个好的算法吗？
解:
a.算法power（n）
//基于公式2n=2n-1+2n-1,计算2n
//输入:
非负整数n
//输出:
2n的值
Ifn=0return1
Elsereturnpower（n-1）+power（n-1）
c.
8.考虑下面的算法
算法Min1（A[0..n-1]）
//输入:
包含n个实数的数组A[0..n-1]
Ifn=1returnA[0]
Elsetemp←Min1（A[0..n-2]）
Iftemp≤A[n-1]returntemp
ElsereturnA[n-1]
a.该算法计算的是什么?
b.建立该算法所做的基本操作次数的递推关系并求解
解:
a.计算的给定数组的最小值
foralln>1
n=1
b.
9.考虑用于解决第8题问题的另一个算法,该算法递归地将数组分成两半.我们将它称为Min2（A[0..n-1]）
算法Min（A[r..l]）
Ifl=rreturnA[l]
Elsetemp1←Min2（A[l..（l+r）/2]）
Temp2←Min2（A[l..（l+r）/2]+1..r）
Iftemp1≤temp2returntemp1
Elsereturntemp2
a.建立该算法所做的的操作次数的递推关系并求解
b.算法Min1和Min2哪个更快?
有其他更好的算法吗?
解:
a.
习题2.6
1.考虑下面的排序算法,其中
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