小学奥数构造、论证与染色、操作问题Word格式文档下载.doc

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每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；

如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色（填“黑”或者“白”）．

【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；

若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．

【例2】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；

现在将第4卷调至此时第l卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；

现在将第3卷调至此时第l卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；

最后将第l卷和第2卷对调即可．

所以，共需调换4+3+2+1=10次．

【例3】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：

从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：

、

（1）某2堆石子全部取光?

（2）3堆中的所有石子都被取走?

【解析】

（1）可以，如（1989，989，89）（1900，900，0）（950，900，950）（50，0，50）（25，25，50）（O，0，25）．

（2）因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所

以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．

现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．

【例4】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：

（1）n=4是否可能？

（2）n=5是否可能？

【解析】

（1）我们知道4个队共进行了场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为×

2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n=4不可能。

（2）我们知道5个队共进行场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为×

2=20.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以5个队得分最少为2+3+4+5+6=20，满足.即n=5有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示，A得2分，C得3分，D得4分，B得5分，E得6分.其中“AB”表示A、B比赛时，A胜B；

“B--C”表示B、C比赛时，B平C，

余下类推.

【例5】如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.

【解析】要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．

因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×

（1+2+3+…+10）=275．

每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整数M大于28．

下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一

边五个的和是28，

一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每

隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图.

【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上任意作个的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：

一定可以找到个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作个扇形将不能保证上述结论成立．

【解析】要在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1～12中的每个数恰好被4个扇形覆盖．将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘．

另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘．

【例7】一组互不相同的自然数，其中最小的数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：

这组数之和的最小值是多少?

当取到最小值时，这组数是怎样构成的?

【解析】首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，1后面只能是1的2倍即2，2后面可以是3或4，3的后面可以是4，5，6；

4的后面可以是5，6，8．最大的为25．下面将所有的可能情况列出：

l，2，3，4，…，25所有的和是35；

l，2，3，5，…，25所有的和是36；

1，2，3，6，…，25所有的和是37；

1，2，4，5，…，25所有的和是37；

1，2，4，6，…，25所有的和是38；

1，2，4，8，…，25所有的和是40.

25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数．在中间省略的数中不能只有1个数，所以至少还要添加两个数，而且这两个数的和不能小于25，否则就无法得到25这个数．要求求出最小值，先看这两个数的和是25的情况，因为省略的两个数不同于前面的数，所以从20+5开始．

25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+11=13+12．

这些数中20，19，18，17太大，无法产生，所以看：

16+9=15+10=14+11=13+12．

看这些谁能出现和最小的l，2，3，4，…，25中，检验发现没有可以满足的：

再看l，2，3，5，…，25，发现1，2，3，5，10，15，25满足，所以：

1+2+3+5+10+15+25=36+25=61

【例8】2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。

甲、乙轮流取，如果甲先取，如何才能保证赢？

【解析】先从简单的情况看起，看看棋子数量较少时，在什么情况下先取者胜，什么情况下后取者胜．可以列表如下：

棋子数量

先取者胜

后取者胜

1枚

√

2枚

3枚

4枚

5枚

6枚

7枚

8枚

9枚

10枚

11枚

12枚

13枚

14枚

15枚

16枚

17枚

18枚

19枚

20枚

棋子数是1～8时比较容易看得出来是先取者胜还是后取者胜，可以看出只有棋子数是2枚和8枚时是后取者胜，其他情况下都是先取者胜．

当棋子数大于8时，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子数变成前面已有的棋子数．先取者为了取胜，第一次取后，应该使剩下的棋子数是后取者胜的情况，比如变成剩下2枚或8枚．这样推下去，可以发现只有当棋子数是8的倍数或者除以8余2时，是后取者胜，其他情况下是先取者胜．

题目中有2004枚棋子，除以8余4，所以先取者肯定可以取胜．不过取胜的策略比较灵活，不能明确地说每次后取者取多少枚先取者就相应地取多少枚，应该从除以8的余数来考虑：

⑴先取者第一次可以先取4枚，这样还剩下2000枚，2000除以8的余数是0；

⑵先取者为了保证获胜，在每一次后取者取了之后，先取者再取的时候，应该使得自己取后剩下的棋子数是8的倍数或者除以8余2；

⑶后取者每次可以取1，3，4，7枚，每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是0或2，所以每次后取者取后剩下的棋子数除以8的余数是7，5，4，1或1，7，6，3.

所以接下来先取者可以对应地取7，3，4，1或1，7，4，3枚棋子，这样剩下的剩下的棋子数除以8的余数为0，2，0，0或0，0，2，0.

这样就保证了第⑵点．

⑷每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是0或2，那么最后一枚棋子肯定是先取者取得，所以先取者获胜．

【例9】在10×

19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到多少个不同的和数?

【解析】首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，…，18，19这20个．

下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现．

如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能．

如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法.

【例10】在8×

8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?

【解析】因为8×

8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有空格，必空偶数格．而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：

第一条斜线只有1格，必空；

第三条有3格，必至少空1格；

第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格．由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格．其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意．此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示．

【例11】在下图中有16个黑点，它们排成了一个4×

4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?

【解析】至少要除去6个点，如下所示为几种方法：

【例12】三个边长为1的正方形并排放在一起，成为1×

3的长方形.求证：

.

【解析】仔细分析，要证，

由于，所以，只需证明就可以了！

于是想到能否把（）移动位

置，与（）拼合在一