小学奥数构造、论证与染色、操作问题Word格式文档下载.doc

1、每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是 颜色（填“黑”或者“白”）【解析】 在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子【例 2】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要

2、将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第l卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第l卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第l卷和第2卷对调即可所以，共需调换4+3+2+1=10次【例 3】 有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子问能

3、否做到：、（1）某2堆石子全部取光? （2）3堆中的所有石子都被取走?【解析】 （1）可以，如（1989，989，89） （1900，900，0）（950，900，950）（50，0，50）（25，25，50）（O，0，25）（2）因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走【例 4】 n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队

4、的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【解析】 （1）我们知道4个队共进行了场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=1412，不满足.即n=4不可能。（2）我们知道5个队共进行场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为2=20.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以5个队得分最少为2+3+4+5+6=20，满足.即n=5有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示，A得2分，C得

5、3分，D得4分，B得5分，E得6分.其中“AB”表示A、B比赛时，A胜B；“B-C”表示B、C比赛时，B平C，余下类推.【例 5】 如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图.【解析】 要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的 因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5（1+2+3+10）=275 每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整数M大于28下面来

6、验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图.【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上任意作个的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数并举一个反例说明，作个扇形将不能保证上述结论成立【解析】 要在表盘上共可作出12个不同的扇形，且112中的每个数恰好被4个扇形覆盖将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表

7、盘那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇形，必有个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘【例 7】 一组互不相同的自然数，其中最小的数是l，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：这组数之和的最小值是多少?当取到最小值时，这组数是怎样构成的?【解析】 首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，1后面只能是1的2倍即2，2后面可以是3或4，3的后面可以是

8、4，5，6；4的后面可以是5，6，8最大的为25下面将所有的可能情况列出：l，2，3，4，25所有的和是35；l，2，3，5，25所有的和是36；1，2，3，6，25所有的和是37；1，2，4，5，25所有的和是37；1，2，4，6，25所有的和是38；1，2，4，8，25所有的和是40.25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数在中间省略的数中不能只有1个数，所以至少还要添加两个数，而且这两个数的和不能小于25，否则就无法得到25这个数要求求出最小值，先看这两个数的和是25的情况，因为省略的两个数不同于前面的数，所以从20+5开始25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10

9、=14+11=13+12这些数中20，19，18，17太大，无法产生，所以看：16+9=15+10=14+11=13+12看这些谁能出现和最小的l，2，3，4，25中，检验发现没有可以满足的：再看l，2，3，5，25，发现1，2，3，5，10，15，25满足，所以：1+2+3+5+10+15+25=36+25=61【例 8】 2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。甲、乙轮流取，如果甲先取，如何才能保证赢？【解析】 先从简单的情况看起，看看棋子数量较少时，在什么情况下先取者胜，什么情况下后取者胜可以列表如下： 棋子数量先取者胜后取者胜1枚2枚3枚4枚5枚6枚7枚8枚9枚10枚

10、11枚12枚13枚14枚15枚16枚17枚18枚19枚20枚棋子数是18时比较容易看得出来是先取者胜还是后取者胜，可以看出只有棋子数是2枚和8枚时是后取者胜，其他情况下都是先取者胜当棋子数大于8时，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子数变成前面已有的棋子数先取者为了取胜，第一次取后，应该使剩下的棋子数是后取者胜的情况，比如变成剩下2枚或8枚这样推下去，可以发现只有当棋子数是8的倍数或者除以8余2时，是后取者胜，其他情况下是先取者胜题目中有2004枚棋子，除以8余4，所以先取者肯定可以取胜不过取胜的策略比较灵活，不能明确地说每次后取者取多少枚先取者就相应地取多少枚，应该从除以8的余数来考虑：先取者

11、第一次可以先取4枚，这样还剩下2000枚，2000除以8的余数是0；先取者为了保证获胜，在每一次后取者取了之后，先取者再取的时候，应该使得自己取后剩下的棋子数是8的倍数或者除以8余2；后取者每次可以取1，3，4，7枚，每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是0或2，所以每次后取者取后剩下的棋子数除以8的余数是7，5，4，1或1，7，6，3.所以接下来先取者可以对应地取7，3，4，1或1，7，4，3枚棋子，这样剩下的剩下的棋子数除以8的余数为0，2，0，0或0，0，2，0.这样就保证了第点每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是0或2，那么最后一枚棋子肯定是先取者取得，所以先取者获胜【例 9】

12、在1019方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和问最多能得到多少个不同的和数?【解析】 首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，18，19这20个下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能 如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法.【例 10】 在88的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘

13、上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?【解析】 因为88的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有空格，必空偶数格而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示【例 11】 在下图中有16个黑点，它们排成了一个44的方阵用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?【解析】 至少要除去6个点，如下所示为几种方法：【例 12】 三个边长为1的正方形并排放在一起，成为13的长方形.求证：.【解析】 仔细分析，要证， 由于，所以，只需证明就可以了！于是想到能否把（）移动位置，与（）拼合在一