高考数学 试题汇编 第五节 二次函数函数与方程函Word格式文档下载.docx

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该题主要考查了对数学语言的理解能力、分段函数及数形结合的思想,立意明确、设计新颖.

2.（2010年安徽卷,理6）设abc>

0,二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（　　）

由abc>

0知,当c>

0时ab>

0,

∴f（0）=c>

0,对称轴x=-<

0无对应选项;

当c<

0时,ab<

∴f（0）=c<

0,对称轴x=->

0,由图象知选D.

D.

3.（2012年陕西卷,理13,5分）如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽　　　　米. 

如图,建立平面直角坐标系,

设C（0,2）,A（-2,0）,B（2,0）

则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）满足:

得a=-,b=0,c=2

∴y=-x2+2.

设水位下降1米,至线段EF处时,F（x,-1）,

代入上式:

-1=-x2+2,

∴x=,有|EF|=2.

2

函数的零点与方程的根

函数的零点与方程的根是高考的一个热点内容,近几年高考在这个考点上常考常新,主要从以下几个方面进行考查:

一是求函数零点的个数（可能是具体函数也可能是抽象函数）;

二是判断函数零点（方程的根）所在的区间;

三是已知函数零点（方程的根）的个数或范围,求解析式中参数的取值范围.一般以选择题或填空题的形式出现,所占分值为5分左右

备考

指津

要强化这个考点以上三个方面的训练,同时要注意数形结合思想、函数与方程思想以及分类讨论思想方法的训练与应用

4.（2012年湖北卷,理9,5分）函数f（x）=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为（　　）

（A）4（B）5（C）6（D）7

令f（x）=0,得x=0或cosx2=0,

因为x∈[0,4],所以x2∈[0,16].

由于cos（+kπ）=0（k∈Z）,

故当x2=,,,,时,cosx2=0.

所以零点个数为6.

C.

求解函数的零点个数通常有两种方法:

一、直接法,即求解出所有的零点,再来数其个数;

二、数形结合法,即转化为函数的图象与x轴的交点个数,此法适用于零点的具体值不好求解时,本题用的就是第一种方法.

5.（2012年天津卷,理4,5分）函数f（x）=2x+x3-2在区间（0,1）内的零点个数是（　　）

（A）0（B）1（C）2（D）3

由f（x）=2x+x3-2=0得:

2x=-x3+2,

令h（x）=-x3+2,

则h'

（x）=-3x2<

∴h（x）在（0,1）上单调递减,

∴h（x）∈（1,2）,在同一坐标系内画出y=2x与h（x）=-x3+2的图象知,

其图象在（0,1）上只有一个交点,

故f（x）=2x+x3-2在（0,1）上只有1个零点.故选B.

6.（2012年辽宁卷,理11,5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x）,f（x）=f（2-x）,且当x∈[0,1]时,f（x）=x3.又函数g（x）=|xcos（πx）|,则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-,]上的零点个数为（　　）

（A）5（B）6（C）7（D）8

由f（-x）=f（x）知y=f（x）为偶函数,

由f（x）=f（2-x）知y=f（x）关于直线x=1对称,

由f（-x）=f（2-x）知y=f（x）的周期T=2.

g（x）=|xcos（πx）|=

h（x）=g（x）-f（x）的零点个数等价于y=f（x）与y=g（x）的图象交点个数.作出图象易知选B.

7.（2011年陕西卷,理6）函数f（x）=-cosx在[0,+∞）内（　　）

（A）没有零点（B）有且仅有一个零点

（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点

在同一坐标系中作出函数y=（x≥0）及y=cosx（x≥0）的图象,数形结合知两个函数的图象只有一个交点,所以函数f（x）=-cosx在[0,+∞）内有且只有一个零点.故选B.

8.（2010年天津卷,理2）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（　　）

（A）（-2,-1）（B）（-1,0）

（C）（0,1）（D）（1,2）

f（-1）·

f（0）<

0,故选B.

9.（2010年福建卷,理4）函数f（x）=的零点个数为（　　）

①x≤0时,f（x）=0⇔x2+2x-3=0,

∴x=-3（x=1舍去）.

②x>

0时,f（x）=0⇔-2+lnx=0,

∴x=e2.因此函数共有两个零点.故选C.

10.（2011年山东卷,理16）已知函数f（x）=1ogax+x-b（a>

0,且a≠1）.当2<

a<

3<

b<

4时,函数f（x）的零点x0∈（n,n+1）,n∈N*,则n=　　　　. 

对函数f（x）,

∵2<

4,

∴f

（2）=loga2+2-b<

1+2-b=3-b<

f（3）=loga3+3-b>

1+3-b=4-b>

0.

即f

（2）f（3）<

易知f（x）在（0,+∞）上单调递增,

∴f（x）存在唯一的零点x0,且x0∈（2,3）,

∴n=2.

11.（2012年陕西卷,理21,14分）设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+,b,c∈R）.

（1）设n≥2,b=1,c=-1,证明:

fn（x）在区间（,1）内存在唯一零点;

（2）设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2（x1）-f2（x2）|≤4,求b的取值范围;

（3）在

（1）的条件下,设xn是fn（x）在（,1）内的零点,判断数列x2,x3,…,xn,…的增减性.

（1）证明:

∵f'

n（x）=nxn-1+1>

0在（,1）上恒成立,

∴fn（x）在（,1）上单调递增,

又当n≥2且n∈N+时,fn（）=（）n-<

0,fn

（1）=2-1>

∴fn（）f

（1）<

∴fn（x）在区间（,1）内存在唯一的零点.

解:

（2）当n=2时,f2（x）=x2+bx+c

∀x1、x2∈[-1,1],有|f2（x1）-f2（x2）|≤4成立,

等价于:

f2（x）max-f2（x）min≤4

下面只需求f2（x）在[-1,1]上的最值即可.

f2（x）的对称轴方程为:

x=-

①当-≤-1,即b≥2时,f2（x）在[-1,1]上递增,

f2（x）max-f2（x）min=f2

（1）-f2（-1）=（1+b+c）-（1-b+c）=2b≤4,b≤2,

综上b=2,

②当-1<

-≤0,

即0≤b<

2时,f

（1）>

f（-1）,

f2（x）max-f2（x）min=f2

（1）-f（-）=（1+b+c）-（-+c）=1+b+≤4,

b2+4b-12≤0,-6≤b≤2,

综上:

0≤b<

2.

③当0<

-≤1,即-2≤b<

0时,f（-1）>

f

（1）,

f2（x）max-f2（x）min=f2（-1）-f（-）=（1-b+c）-（-+c）=1-b+≤4,

b2-4b-12≤0,-2≤b≤6,

-2≤b<

④当->

1,即b<

-2时,f2（x）在[-1,1]上单调递减,

f2（x）max-f2（x）min=f2（-1）-f2

（1）=（1-b+c）-（1+b+c）=-2b≤4,b≥-2.

综上所述:

-2≤b≤2.

（3）该数列为递增数列.法一:

设xn是fn（x）=xn+x-1在（,1）内的唯一零点（n≥2）

fn（xn）=+xn-1=0

fn+1（xn+1）=+xn+1-1=0,xn+1∈（,1）

由于<

所以fn+1（xn+1）=+xn+1-1<

+xn+1-1=fn（xn+1）

∴fn+1（xn+1）=fn（xn）<

fn（xn+1）

由

（1）知,fn（x）在（,1）上单调递增,

∴xn<

xn+1（n≥2）

∴数列x2、x3、x4、…、xn、…是递增数列.

法二:

设xn是fn（x）=xn+x-1在（,1）内的唯一零点.

fn+1（xn）·

fn+1

（1）=（+xn-1）·

（1n+1+1-1）

=+xn-1<

+xn-1=0

∴fn+1（x）的零点xn+1在（xn,1）内,有xn<

∴数列x2,x3,…,xn,…是递增数列.

此题在导数的基础上,重点考查函数的零点及二次函数的最值问题,用分类讨论的方法讨论了动轴定区间问题,难度较大.

函数模型的综合应用

函数的应用是高考的热点内容,在高考试题中,考查函数的应用,主要有两种形式,一是以选择题、填空题的形式,考查几种常见函数模型在实际问题中的应用等,一般为容易题或中档题;

二是以解答题的形式,考查实际问题以及函数与其他知识,如:

方程、不等式、数列、解析几何等的综合等,综合性强,难度较大

12.（2012年湖南卷,理8,5分）已知两条直线l1:

y=m和l2:

y=（m>

0）,l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,的最小值为（　　）

（A）16（B）8

（C）8（D）4

如图所示,由-log2xA=m,xA=（）m,

log2xB=m,xB=2m,

-log2xC=,xC=（,

log2xD=,xD=

所以,a=|xA-xC|=|（）m-（|,

b=|xD-xB|=|2m-|,

==2m·

=

设u=m+=（2m+1）+-≥2·

2-=（当且仅当（2m+1）=,即m=时,等号成立）

所以=≥=8,故选B.

在研究函数时数形结合,求的最小值,先建立的关系式,再利用求最值的方法求解.

13.（2012年福建卷,理10,5分）函数f（x）在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有f（）≤[f（x1）+f（x2）],则称f（x）在[a,b]上具有性质P.设f（x）在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:

①f（x）在[1,3]上的图象是连续不断的;

②f（x2）在[1,]上具有性质P;

③若f（x）在x=2处取得最大值1,则f（x）=1,x∈[1,3];

④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）].

其中真命题的序号是（　　）

（A）①②（B）①③（C）②④（D）③④

本小题主要考查函数性质的应用与知识迁移能力,对③,若∃x1∈[1,3],使f（x1）≠1,则f（x1）<

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