各种等腰三角形难题Word文档下载推荐.docx

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.故∠ADC=150°

∠BDC=30°

例2.已知,如图:

⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°

点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°

∠CBE=60°

试求∠DEB的度数.

本题貌似简单,其实不然.

过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.

∴∠FEG=∠EFG=60°

∠AFG=140°

∠DFG=40°

∵∠BCG=50°

∠CBD=60°

∴∠BDC=50°

=∠BCD,则BD=BC=BG;

又∠ABE=20°

故∠BGD=80°

∠DGF=180°

-∠BGD-∠FGE=40°

即∠DGF=∠DFG,DF=DG;

又EG=EF;

DE=DE.

∴⊿DGE≌⊿DFE（SSS）,得:

∠DEG=∠DEF=30°

所以,∠DEB=30°

例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°

D和E分别为

AB和AC上的点,且∠ABE=10°

∠ACD=20°

∠DEB的度数.

本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.

在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°

作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.

易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.

∴∠CMF=∠CFM=80°

∠GMF=100°

∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°

∠FGM=∠A+∠ABG=40°

即∠GFM=∠FGM;

FM=GM;

又∠DF=DG,DM=DM.

则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°

故∠DMC=130°

=∠EMB;

又∠DCM=∠EBM=20°

∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;

又∠DME=∠BMC=50°

∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°

又∠BEC=∠ABE+∠A=30°

所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°

-30°

=20°

例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。

求证：

M是BE的中点。

思路点拨：

欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。

因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。

证明：

因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

所以∠1＝∠ABC

又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E

所以∠ACB＝2∠E

即∠1＝∠E

所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M

所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）

例5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：

BD=2CE．

根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．

∵∠ABC的平分线交AC于D，

∴∠FBE=∠CBE，

又BE=BE，

∵BE⊥CF，

∴∠BEF=∠BEC，

∴△BFE≌△BCE（ASA），

∴CE=EF，

∴CF=2CE，

∵∠BAC=90°

，且AB=AC，

∴∠FAC=∠BAC=90°

，∠ABC=∠ACB=45°

，

∴∠FBE=∠CBE=22.5°

∴∠F=∠ADB=67.5°

又AB=AC，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD=CF，

∴BD=2CE．

例6.如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长

思路点拨根据题意先证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得BD=OD，CE=EO，根据已知△ADE的周长为10cm，再加上BC的长即可得△ABC的周长．

解：

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，

∵DE∥BC，

∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，

∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，

∴BD=OD，CE=EO（等角对等边）

∵AD+DE+AE=10cm，

∴AD+BD+CE+EA=10cm，

又BC的长为5cm，所以△ABC的周长是：

AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm．

例7.TA共获得：

评分共：

0条

三角形ABC，AB=AC，边BC的中点为D

（1）画图：

作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上

（2）你所作的等边三角形DEF的边EF与BC平行吗？

理由是什么？

（3）是否可能作一个等边三角形DEF，使它的边EF与BC不平行？

如有可能，指出角A的度数；

如不可能，说出理由

⑴见图

作法：

在三角形ABC部作∠BDE＝∠CDF＝60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF

则三角形DEF就是所要求作的等边三角形

⑵平行。

理由：

因为AB＝AC

所以∠B＝∠C

因为D是BC中点

所以BD＝CD

因为∠BDE＝∠CDF＝60度

所以△BDE≌△CDF（ASA），∠EDF＝60度

所以DE＝DF

所以三角形DEF是等边三角形

所以∠BDE＝∠DEF＝60度

所以EF//BC

⑶可能。

∠A＝120度

证明要点：

因为EF与BC不平行，

所以AE≠AF，不妨设AE＞AF

过F作FG//BC，交AB于G，连接DG

容易证明△BDG≌△CDF

所以DG＝DF＝DE，∠BGD＝∠CFD

由DE＝DG得∠DEG＝∠DGE

所以∠DEG＝∠CFD

所以A、E、D、F四点共圆

所以∠A＋∠EDF＝180度

所以∠A＝120度

例8.三角形ABC中，AB=AC,D在AC上,E在AB上，连结DE，已知顶角等于20°

∠CBD=60°

∠ECB=50°

.求∠ADE的度数

以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于G，连接DG，

则：

BG=BC，∠BGC=∠ACB；

已知：

AB=AC，∠A=20°

，

∠ABC=∠ACB=80°

∠BGC=∠ACB=80°

∠GBC=20°

∠ABG=60°

；

∠ABD=20°

，∠DBG=40°

∠BDG=∠BGC-∠DBG=40°

，BG=DG；

∠ECB=50°

∠BRC=180°

-∠ABC-∠ECB=50°

圆孤，∠ABG=60°

BE=BC=BG=DG，△BGE为正三角形，

EG=BE=BC=BG=DG，∠EGB=60°

∠DGE=180°

-∠BGC-∠EGB=40°

EG=DG,

∠GED=∠EDG=（180°

-∠DGE）/2=70°

∠ADE=180°

-∠EDG=110°

。

例9.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。

分析：

证明：

所以∠1＝∠ABC

又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E

所以∠ACB＝2∠E

即∠1＝∠E

所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M

所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）

例10.如图，已知：

中，，D是BC上一点，且，求的度数。

题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。

因此需要考虑和在题目中的作用。

此时图形中三个等腰三角形，构成了外角的关系。

因此可利用等腰三角形的性质和三角形的外角关系定理来求。

因为，所以

因为，所以；

因为，所以（等边对等角）

而

所以

又因为

即所以

即求得

说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。

把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。

本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。

2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。

3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。

例11.已知：

如图，中，于D。

欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与的关系。

过点A作于E，

所以（等腰三角形的三线合一性质）

因为

又，所以

所以（直角三角形两锐角互余）

所以（同角的余角相等）

即

说明：

1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。

因此添加底边的高是一条常用的辅助线；

2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。

因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。

例12．已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。

AE＝AF。

又D是BC的中点，所以

所以，所以

说明：

证法二：

连结AD，通过证明即可

例13.如图，中，，BD平分。

分析一：

从要证明的结论出发，在BC上截取，只需证明，考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。

证明一：

在BC上截取，连结DE、DF

在和中，

又

而

例题14：

如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于，只需证明

易证，，故作的角平分线，则有，进而证明，从而可证出。

证明二：

延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分交BC于F。

由证明一知：

则有

DF平分

，在和中

，而

在中，

“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。

例15.如图，是等边三角形，，则的度数是________。

结合三角形角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。

因为是等边三角形

因为，所以

在中，因为

例16.求证：

等腰三角形两腰中线的交点