各种等腰三角形难题Word文档下载推荐.docx

1、.故ADC=150,BDC=30例2.已知,如图:ABC中,AB=AC,BAC=20点D和E分别在AB,AC上,且BCD=50,CBE=60试求DEB的度数.本题貌似简单,其实不然.过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点G,连接DG.易知GEF,GBC均为等边三角形.FEG=EFG=60AFG=140,DFG=40BCG=50CBD=60BDC=50=BCD,则BD=BC=BG;又ABE=20故BGD=80,DGF=180-BGD-FGE=40即DGF=DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.DGEDFE（SSS）,得:DEG=DEF=30所以,DEB=30例3.已知,等腰

2、ABC中,AB=AC,BAC=20,D和E分别为AB和AC上的点,且ABE=10,ACD=20DEB的度数.本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则CMB=CBM=50作DGBC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.易知BCF和DGF为等边三角形,CM=CB=CF.CMF=CFM=80,GMF=100GFM=GFC-CFM=40FGM=A+ABG=40即GFM=FGM;FM=GM;又DF=DG,DM=DM.则DMFDMG,DMG=DMF=50故DMC=130=EMB;又DCM=EBM=20DMCEMB,DM/MC=EM/MB

3、;又DME=BMC=50DMECMB,DEM=CBM=50又BEC=ABE+A=30所以,DEB=DEG-BEC=50-30=20例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。求证：M是BE的中点。思路点拨：欲证M是BE的中点，已知DMBC，所以想到连结BD，证BDED。因为ABC是等边三角形，DBEABC，而由CECD，又可证EACB，所以1E，从而问题得证。证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以1ABC又因为CECD，所以CDEE所以ACB2E即1E所以BDBE，又DMBC，垂足为M所以M是BE的中点（等腰三角形

4、三线合一定理）例5.如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE根据已知条件，易证BFEBCE，所以BF=BC，所以F=BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明ABDACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CEABC的平分线交AC于D，FBE=CBE，又BE=BE，BECF，BEF=BEC，BFEBCE（ASA），CE=EF，CF=2CE，BAC=90，且AB=AC，FAC=BAC=90，ABC=ACB=45，FBE=CBE=22.5F=ADB=67.5又AB=AC，ABDACF

5、（AAS），BD=CF，BD=2CE例6. 如图，在ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，DE过O且平行于BC，已知ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求ABC的周长思路点拨根据题意先证明BDO和CEO是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得BD=OD，CE=EO，根据已知ADE的周长为10cm，再加上BC的长即可得ABC的周长解：BO平分ABC，CO平分ACB，DBO=OBC，ECO=OCB，DEBC，DOB=OBC，EOC=OCB，DBO=DOB，ECO=EOC，BD=OD，CE=EO（等角对等边）AD+DE+AE=10cm，AD+BD+CE+EA=10cm，又BC的长为5cm，所

6、以ABC的周长是：AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm例7.TA共获得： 评分共：0 条 三角形ABC，AB=AC，边BC的中点为D（1）画图：作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上（2）你所作的等边三角形DEF的边EF与BC平行吗？理由是什么？（3）是否可能作一个等边三角形DEF，使它的边EF与BC不平行？如有可能，指出角A的度数；如不可能，说出理由见图作法：在三角形ABC部作BDECDF60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF则三角形DEF就是所要求作的等边三角形平行。理由：因为ABAC所以BC因为D是BC中点所以BDCD因为BDECDF60度所以B

7、DECDF（ASA），EDF60度所以DEDF所以三角形DEF是等边三角形所以BDEDEF60度所以EF/BC可能。A120度证明要点：因为EF与BC不平行，所以AEAF，不妨设AEAF过F作FG/BC，交AB于G，连接DG容易证明BDGCDF所以DGDFDE，BGDCFD由DEDG得DEGDGE所以DEGCFD所以A、E、D、F四点共圆所以AEDF180度所以A120度 例8.三角形ABC中，AB=AC,D在AC上,E在AB上，连结DE，已知顶角等于20,CBD=60,ECB=50.求ADE的度数 以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于G，连接DG， 则：BG=BC，BGC=ACB；已知：AB

8、=AC，A=20， ABC=ACB=80BGC=ACB=80GBC=20ABG=60；ABD=20，DBG=40BDG=BGC-DBG=40，BG=DG；ECB=50BRC=180-ABC-ECB=50圆孤，ABG=60BE=BC=BG=DG，BGE为正三角形， EG=BE=BC=BG=DG，EGB=60DGE=180-BGC-EGB=40EG=DG, GED=EDG=（180-DGE）/2=70 ADE=180-EDG=110。 例9. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为M。分析： 证明： 所以1ABC 又因为CECD，所以CD

9、EE 所以ACB2E 即1E 所以BDBE，又DMBC，垂足为M 所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理）例10. 如图，已知：中，D是BC上一点，且，求的度数。题中所要求的在中，但仅靠是无法求出来的。因此需要考虑和在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的外角关系定理来求。因为，所以 因为，所以； 因为，所以（等边对等角） 而 所以 又因为 即 所以 即求得 说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步

10、体现。2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。 例11. 已知：如图，中，于D。欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与的关系。过点A作于E， 所以（等腰三角形的三线合一性质） 因为 又，所以 所以（直角三角形两锐角互余） 所以（同角的余角相等） 即 说明： 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线； 2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间

11、的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出的等角等。 例12已知：如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAB，DFAC，E、F分别是垂足。AEAF。 又D是BC的中点，所以 所以，所以说明：证法二：连结AD，通过证明即可 例13. 如图，中，BD平分。分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取，只需证明，考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出。证明一：在BC上截取，连结DE、DF 在和中， 又 而例题14：如图，可以考虑延长BD到E，使DEAD，这样BDAD=BD+DE=BE，只需证明BEBC，由于，只需证明易证，故作的角平分线，则有，进而证明，从而可证出。证明二：延长BD到E，使DEAD，连结CE，作DF平分交BC于F。 由证明一知： 则有DF平分，在和中，而 在中， “一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。 例15. 如图，是等边三角形，则的度数是_。结合三角形角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。因为是等边三角形 因为，所以 在中，因为例16. 求证：等腰三角形两腰中线的交点