高中数学23个求极值和值域专题分享Word格式文档下载.docx

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17、求函数：

18、求函数：

的最大值.

19、设：

为正实数，且满足，

试求：

20、已知为正实数，且满足，

求：

21、设为锐角，求：

22、设为锐角，求证：

.

23、已知为正实数，求证：

23个求极值和值域专题解析

解析：

函数的定义域为：

.

函数的导函数为：

当时，，则

故

即：

函数在区间为单调递减函数，故：

；

故：

函数在该区间的值域是.

函数在区间为单调递增函数，故：

函数在该区间的值域是.

综上，函数的值域是.

本题采用导数的正负来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.

函数的定义域是：

.待定系数法用于柯西不等式来解本题.

设：

，则柯西不等式为：

令：

，即：

由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：

由得：

将代入得：

试解，由于，则式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.

则：

，且.则：

，，

代入得：

，即时函数取得极大值.

函数极大值为

当时，函数在本区间为单调递增函数.故：

函数在区间的值域是

当时，函数在本区间为单调递减函数.故：

本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.

将式代入式得：

当时，函数达到极大值.极大值为：

当区间时，，函数单调递增.故：

函数在本区间的值域是.

当区间时，，函数单调递减.故：

.则函数为：

（当时取负号，当时取正号）

于是函数的极值在：

在区间，函数的极值为：

在区间的边界有：

在区间，函数，为单调递减函数.

故有：

综上，函数的值域是.本题方法属“单调性法”

函数的定义域为.

将函数变形为：

其判别式不等式为：

而函数的值域是，即：

对比两式得：

，，即，因，故：

实数，.此法称为“判别式法”.

首先设，代入得：

，则：

当时，由均值不等式，即：

得：

代入已知条件，得：

由、、得，的最小值是.

本题先确定均值，然后在均值和均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.

由已知条件得：

，则方程变为：

采用判别式法得：

的最小值是.此题采用的是“判别式法”

首先，是一个偶函数，在区间单调递增，在区间单调递减.

当时，为单调递减函数，即：

是最大值为，是最小值为.即：

即：

（*）

（*）两式相减得：

则:

，即：

（*）两式相加得：

将式代入后化简得：

，.则区间为.

当、时，的最大值是，即：

.若，则的最小值为：

，

，解之及可得：

故此时区间为.

.若则的最小值为：

.不符合题设，即此时无解.

当时，由是一个偶函数可得：

，故：

是最小值为，是最大值为，即：

为一元二次方程的两个根，

由韦达定理得：

，则由得：

异号，不符合题设，即此时无解.

综上，区间为或.本题采用“分别讨论法”和“极值法”.

由可知，函数的定义域是：

有均值不等式，即：

当时，，，即可以取到不等式的等号。

函数的最大值是.本题采用，称为“均值不等式”.

函数

其定义域为：

于是：

当时，，即：

所以，是可以取到的.故的最小值是.

正是由于时，函数取到极值，所以有人总结出此类题的解法用来解，即设，代入，后得：

这两个结果分别对应于的极小值

和的极大值.

本题采用的是“向量法”.

先求函数的定义域.定义域为：

本题采用判别式法解题.

由等价变形为：

式上面方程有解得判别式是：

函数的值域为.此法称为“判别式法”

本题亦可以采用换元法和配方法来做.

，则，

当时，即：

当时，达到极小值.此法就是“换元配方法”.

由已知得：

则由柯西不等式得：

将、代入得：

其判别式为：

方程等号下的两根为：

根据柯西不等式等号成立的条件得：

代入式得：

由两式得：

，此时：

此为最大值.

，此时：

所以，的最小值为.此题解法为“柯西不等式”.

待定系数法用于柯西不等式来解本题.

，，则：

设，则：

，，

柯西不等式中，等号成立的条件是：

将和代入得：

当，时，柯西不等式中，等号成立.

的最小值是.

本题系“待定系数法”用于“柯西不等式”.

由均值不等式，即：

、时，.

函数的最小值是.此法采用“均值不等式法”.

由柯西不等式得：

由柯西不等式的等号成立的条件得：

，于是，

当，时，

所以，函数的最大值是.此法是用“柯西不等式”.

本题也可以采用“权方和不等式”

此法为“权方和不等式”.

函数的极值为：

在区间，函数单调递增，故：

于是，函数在该区间的值域是.

在区间，函数单调递减，故：

此法为“待定系数法”用于“柯西不等式”，最后用“单调性法”得到值域.

.本题采用判别式法.

由的判别式得：

或，即：

或

由于式即的条件必须那满足，故.

此时，，函数的值域为.此法为“判别式法”.

18、求：

由均值不等式得：

所以,两边相加得：

在时，，即不等式的等号可以取到.

故:

的最大值为.此法为“均值不等式”.

……

不等式两边分别相加得：

当时，，即不等式的等号可以取到.

的最小值是.此法为“均值不等式”.

由

因此，的最大值是.此法为“柯西不等式”.

将与通分，并与最后一项合并得：

再由辅助角公式得：

由式及为锐角，当达到最大值时，达到最小值，

当时，.

故，当时，达到最小值，最小值为.

此法为“辅助角公式法”.

因为为锐角，函数定义域为：

，所以，

构造函数：

则函数的导函数为：

因为：

，，，所以：

在定义域区间，函数为单调递增函数，

.证毕.

采用待定系数法解本题：

，（），则：

于是，

，则代入得：

将，代入式得：

此法为“待定系数法”.

另一种方法：

参数法

，，代入得：

即证：

，即证：

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　　10）爱老婆要做到两个不要：

不要问老婆能够为额做些什么，而要问额可以为老婆做些什么;

不要问老婆喜欢些什么，老婆喜欢些什么对额而言应该是常识!

　　对老婆煽情的话

　　1）有你相伴，天空是蓝