成都一诊压轴题深度剖析.docx
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成都一诊压轴题深度剖析
2018成都一诊压轴题深度剖析
【解析】因为，注意到P在对称轴上，所以当为切线的时候，，即，设，则
则，即，结合得.
从而
【点评】借助对称性确定，从而把问题转化为过P作切线，斜率为，进而可以求出.解方程利用整体代换的思想很重要，这在处理公切线的时候，常常会这样解方程组。
在淘宝博约书斋（唯一正版书店）《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》作了分析。
（2016全国3卷文科第16题）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是
（2015新课标1文科第12题）设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则
2016考查了奇偶性和切线；2015年对两个函数的对称性提出了较高要求。
成都一诊涉及两个函数的对称性和由切线斜率反过来求，与全国卷考查很吻合。
对直观想象、逻辑推理和数学运算三个核心素养进行了较好地考查。
【解析】由椭圆第三定义知，则原式可变为，
令，，则
，
所以当时，达到最小值。
此时
【点评】在淘宝博约书斋（唯一正版书店）《解析几何的系统性突破》一书把到两定点的斜率之积为不等于-1的负数视为椭圆第三定义，全国卷两次直接考查，如下：
在书中也介绍了第三定义和中点弦的结论是完全一致的，在即将出版的
《高观点下高考数学压轴题三部曲》（目前只有打印版，在新高考新思维新突破微店有卖
给每一个近八年的全国卷高考压轴题以变式和拓展，融入了与之相关的竞赛、自招题。
）
【解析】法一：
设是中点，则
，
由三点共线，得，即，从而，
从而.
法二：
（建立坐标系）特殊化，不妨设为直角三角形，为了计算方便，不妨设，可以求得直线方程，从而求得的坐标。
【解析】法一：
设是中点，则
，
由三点共线，得，又因为.
即，观察得或，所以或
20.是对2015陕西文科或2017全国1卷解析几何的改编，对此《解析几何系统系突破》进行了系统性地归类总结。
在《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》进一步分析了2017全国1卷为什么定点不在坐标轴上，期望一眼就能看出。
21.（文）
【解析】
（2）参考答案借助邻域来处理。
令
（注意到则即，说明，函数恒单增，说明和时，存在单减区间就可以。
）
在淘宝博约书斋（唯一正版书店）《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》作为处理恒成立求参数范围的基本方法之一。
21.（理）
【来源】此题改编（2018广州一模）已知函数。
（1）讨论函数零点的个数；
（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围。
【解析】处了参考答案的分离参数法之外，还有如下方法
（2）令
，，所以单增，
当且时，有
当且时，
则有唯一零点，从而在单减，在单增
所以
注意到，即
所以，即，
进而有，即
因为在单增，所以，即
从而，即。
【点评】在淘宝的博约书斋店铺《全国卷高考数学的分析及应对》谈到破解压轴题的思维说之一——思维的发散、聚焦和求变
9.破解压轴题的思维说——思维的发散、聚焦和求变
思维发散，对问题的抽象、把握其本质和结构特征，联想处理这一类问题的基本方法。
思维推进的过程中遇到困难，明确目标，聚焦难点，再次联想和发散，尝试。
并不一定要一种思路或经验走到底，而是针对现阶段得到成果和目标灵活选择，这是思维求变。
例.（2018广州一模）已知函数。
（3）讨论函数零点的个数；
（4）对任意的，恒成立，求实数的取值范围。
解析：
（1）法一（分离参数法）：
由得，令，
则，由得，所以在单减，在单增，
，作出图像大致如下：
当时，无零点；当时，函数有2个零点；当或时，函数有唯一零点。
法二：
（直接讨论法）
当时，恒成立，则在单增，
若且时，，，
此时函数有唯一零点。
当时，由得，所以在单增，在
当时，，此时唯一零点；
当时，，此时函数无零点；
当时，，，
取且，则有
此时有两个零点。
（2）令，原不等式等价于，
，，所以在单增，
当时，，当时，，
所以在上有唯一零点，记为，由得
当时，；当时，；
所以在单减，在单增，
则，
即
令，则，所以单增，
由得，所以，即，
所以
点评：
思维发散：
不等式恒成立求参数范围这是一类基本问题，其处理的方法有：
分离参数法，邻域法，转化为函数最值。
最值往往又是极值，又分为两类，如果极值点可解如，则问题又转化为解超越不等式，如果极值点不可解，则构建关于的函数，根据（或）求出的范围，从而求得的范围。
思维聚焦：
把问题界定为构建关于的函数，集中精力解不等式。
思维发散：
解超越不等式的两种基本方法是找根、求导，或构造相同的结构找单调性，此应该属于第二种。
思维灵活（求变）：
得到，知道此根绝对解不出来，放弃解不等式，放弃突破就是最大的突破，再结合目标进行思考，发现都有，按照经验，处理掉指对数式，即可得到答案。
【点评】处理这个的关键思想在2014全国1卷理科第21题考试中心给出的参考答案中也有此做法，值得注意。
在即将出版的
《高观点下高考数学压轴题三部曲》（目前只有打印版，在新高考新思维新突破微店有卖
给每一个近八年的全国卷高考压轴题以变式和拓展，融入了与之相关的竞赛、自招题。
）下面是是其中的一节。
5.一解一析一境界——横看成岭侧成峰
——一个结构的无穷演绎
例.（2014全国1卷理科第21题）设函数，曲线在点（1，处的切线为.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：
分析：
第（Ⅱ）问一个基本思路是转化为函数的最值，但因为函数极其复杂，导数的零点不好处理，导致过程推进不下去。
于是把函数进行处理，法一是转化为两个基本函数，证明一个函数的最大值大于另一个函数的最小值，法二进行放缩。
第（Ⅱ）问是不等式恒成立问题，
【解析】：
（Ⅰ）（略）
（Ⅱ）【分析1】寻找难点：
处理不等式恒成立问题，转化为函数的最值是基本思路，但此题困难在于导函数太复杂，复杂的原因在于既有指数式，又有对数式，对函数进行处理显得非常必要，但无论怎么变形，放在一个函数中其导数都是无法处理的。
【分析2】尝试突破：
正是基于上述难点的分析，尝试证明“一个函数的最小值大于另一个函数的最大值”这个极强的命题，把分开，得到两个常见的函数，尝试证明一个函数的最小值大于另一个函数的最小值。
法一：
由（Ⅰ）知，，从而等价于
设函数，则，
所以当时，，当时，，
故在单调递减，在单调递增，
从而在的最小值为.
设函数，则，
所以当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，从而在的最小值为.
综上：
当时，，即.
【解题反思1】记住一些常见函数的最值
都用来表示，我们很容易进行改编，比如有，变形得：
变式1：
已知，
（1）求单调区间；
（2）证明：
【分析3】针对难于处理，两边同时除以指数函数，得，对所证式子结构的观察，与常用不等式的联系，找打了问题的突破口。
法二：
，
注意到，则，若能证明即可，显然成立。
又因为等号成立的条件不同，所以原不等式成立。
【解题反思2】在变形的过程中随时对式子结构进行观察，联想与之相关的结论，这应该是一种思维习惯。
苏霍姆林斯基说思维培养最好的方式是“一边思考、一边观察，在观察中思考、在思考中观察。
”此题给出了观察和思考的对象。
【分析4】受法二的影响，重新观察结构，联想到，由此把要证明的式子分成两部分，尝试证明。
即证，易证。
法三：
（略）
【解题反思3】观察不仅限于较复杂的代数式之间，与常数的联系常常也是重要的突破口。
XX文库-让每个人平等地提升自我【分析5】法三和法二分别在未变形之前和变形之后，对式子进行观察发现了不同的结构，那在其它变形中是否也蕴含着一些有价值的结构，再来观察法一中的，
如果把中的变成，得到，惊讶地发现两个形式大相径庭的式子只是同一个函数在不同代数式下的函数值。
法四：
令，则
原不等式等价于，即，
容易证明，则，且等号不能同时取到，证毕。
【解题反思4】令，则。
在此题中，相同的结构得到再一次拓展。
指对数运算法则及互逆性，使得整式的乘积结构变为分式结构，含指数式可以变为含对数式。
考试中心给出的参考答案之一是：
令，则，容易证明。
世间万物看似差别极大的东西，有可能受着同一个简单法则支配。
阿兰图灵使用了一个在天文学和原子物理学中很常见的一种数学方程式来描述生命的过程，描述了一个生物系统的自我组织的过程，这解释了即使简单的，毫无自然界事物特性的东西也可以演绎出栩栩如生的东西。
自然界充满了生长、发展和混乱，其中到处都是离奇的形状和杂乱的斑点，自然界的图案从来都不会固定不变，从来都不会重复，阿兰图灵告诉我们这一切看上去混乱的现象都受到数学方程式的影响，事实上，他们完全被数学规则所支配。
【分析6】针对难于处理，尝试选择常用不等式或进行放缩直接消掉了指数函数。
法五：
，
令，，
所以在单减，在单增，则，
容易证明，等号成立当且仅当，
则，
令，则，在单减，在单增，
所以，所以，“”不能同时取到，则成立。
【解题反思5】考虑的正负，这是放缩过程中最容易忽略的必要步骤。
【分析7】能消掉指数函数，那能否消掉对数函数呢？
借助或恒在处的切线切线的下方，得到不等式，即，要证明的不等式，需要把放小，故考虑用去替换中的，得到，即。
法六：
容易证明，
则，显然成立。
变式2：
已知函数．
（1）若曲线与曲线在交点处有共同的切线，求的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求的取值范围；
（3）在
（1）的条件下，求证：
．
解：
（1），切点坐标为；
（2）；
（3）等价于．
设，则．
设，则．
从而可得，即．
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