推荐数学建模旅游线路的优化设计 精品 精品Word下载.docx
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（3）如果这位游客准备2000元旅游费用，想尽可能多游览景点，请建立相关数学模型并设计旅游行程表。
（4）如果这位游客只有5天的时间，想尽可能多游览景点，请建立相关数学模型并设计旅游行程表。
（5）如果这位游客只有5天的时间和2000元的旅游费用，想尽可能多游览景点，请建立相关数学模型并设计旅游行程表。
二、问题假设
1、忽略乘坐出租车时经过收费路段所交的费用；
2、在每个城市中停留时，难免会遇到等车、堵车等延时情况，在此问题中我们不做考虑；
3、所有旅馆都未客满，并且忽略从旅馆到火车站或景点的时间；
4、列车车次和飞机航班没有晚点等情况发生；
5、列车和飞机的票足够，没有买不到票的情况发生；
6、景点的开放，列车和航班的运营不受天气的影响；
7、绘图时，经线和纬线近似平行分布；
8、将城市和路径的关系转化为图论问题；
9、在时间的认识上，我们把当天的8点至次日的8点作为一天。
三、符号说明
有向图矩阵
城市
路径
要经过的城市总数
任意两城市之间的距离
是否经过两座城市
路径上的信息量
启发函数
信息启发式因子
期望启发式因子
蚂蚁在时刻由城市转向城市的转移概率
第只蚂蚁的禁忌搜索表
信息素挥发系数
时刻蚂蚁在路径上留下的信息素量
到目前为止所找到的全局最短路径长度
蚂蚁携带的信息素量
本次循环中第只蚂蚁所走的路程长度
蚂蚁的总数量
蚂蚁的编号
所记录的循环次数
最大循环次数
四、问题分析
4.1问题一的分析
针对问题一，要求求出将旅游景点全游览完，所需的最少旅游费用。
这和问题,即旅行商问题有些类似，所以本文将问题向问题进行一定的转化，从而进行求解。
因为运用传统的动态规划解法，解法的空间复杂性和时间复杂性都十分庞大，不利于求解，所以采用蚁群算法，通过计算机软件进行编程得到路程最短的旅行路线。
因题目要求时间不限，用最少的旅游费用游览全部景点，而考虑到不同交通工具的速度和票价都不相同，各个旅馆的住宿费用也不相同，所以我们对其行程进行详细的安排，尽量减少其在交通和住宿上的费用，减少不必要的花费。
最后得出一个最少旅游费用的旅游行程表。
4.2问题二的分析
针对问题二，要求求出将旅游景点全游览完，所需的最少时间。
因为考虑到交通工具的不同导致时间上的差异问题，所以仅用问题一的模型不能求解。
但是由于任意两座城市之间都能相连接起来，且每座城市只经过一次，所以将任意两座城市之间的路程转变为时间，建立最优化模型，通过计算机软件进行编程，到时间最短的旅游路线。
然后，根据题目要求，再对其行程进行详细的安排，尽量避免不必要的时间。
最后得出一个最短时间的旅游行程表。
4.3问题三的分析
针对问题三，题目给出了限制条件，旅游费用不超过2000元。
只用2000元游览完全部景点是不可能的，所以我们对其行程进行优化。
首先，将问题一的旅游行程根据旅游景点和交通路线划分成21个部分（包括10个景点和11条交通线路），并计算出每一个部分所要花费的旅游费用。
然后，对旅游行程进行优化计算，为了简化运算，我们假设交通线路上花费的费用只是简单相加。
通过除去旅游景点计算出2000元以下的费用最优解。
最后得出一个2000元以下的旅游行程表。
4.4问题四的分析
针对问题四，题目也给出了限制条件，旅游时间不超过5天。
只用5天游览完全部景点是不可能的，所以我们对其行程进行优化。
解法与问题三大致相同。
首先，对问题二的旅游行程也根据旅游景点和交通路线划分成21部分（包括10个景点和11条交通线路），并计算出每一个部分所要花费的时间。
然后，对旅游行程进行优化计算，为了简化运算，我们假设交通线路上花费的时间只是简单相加。
通过除去旅游景点计算出5天以内的时间最优解。
最后得出一个5天以内的旅游行程表
4.5问题五的分析
针对问题五，题目给出了两个限制条件，旅游费用不超过2000元，并且旅游时间在5天以内。
只用5天和2000元游览完10个景点是不可能的，所以我们对其进行优化。
由于飞机价格非常高，所以我们基于第三问，并且结合第四问的数据对其进行优化。
首先，对旅游行程也根据旅游景点和交通路线划分成21部分（包括10个景点和11条交通线路），并计算出每一部分所要花费的时间和费用。
然后，对旅游行程进行优化计算，为了简化运算，我们假设交通线路上花费的时间和费用只是简单相加。
通过除去旅游景点计算出2000元以下和5天以内的时间最优解。
最后得出一个最优旅游行程表。
五、模型的建立与求解
5.1问题一的求解
5.1.1建立图论的数学模型
将各个旅游景点之间的关系转化为图论问题，并做以下分析：
建立有向图。
其中称为图的顶点集，中的每一个元素称为该图的一个顶点，在该题中表示城市；
称为图的弧集，中的每个元素称为该图的一条从到的弧，在此题中表示各个城市两两连线的集合。
[1]
设城市个数为，表示两个城市与之间的距离，0或1（1表示走过城市到城市的路，0表示没有选择走这条路）。
本题可以向问题进行转化，则问题的数学模型为：
5.1.2建立蚂蚁算法的数学模型
（1）状态转移规则
因为蚂蚁不能重复经过一个城市，所以建立禁忌表来记录蚂蚁走过的城市，禁忌表随着时间做动态变化。
建立蚂蚁由城市转移到城市的状态转移概率如下：
（1）
上式中为信息启发式因子，表示路径的相对重要性，是对所积累的信息素影响作用的一个加权值；
为期望启发式因子，表示能见度的相对重要性；
每只蚂蚁必须依据以城市距离和连接边上信息素的数量为变量的概率函数，决定选择下一个城市的概率。
每只蚂蚁必须根据禁忌表和概率函数寻找下一个城市，以保证该蚂蚁从起点出发经过所有城市有且只有一次，并且最终返回到起点。
（2）信息素的全局更新规则
当只蚂蚁成功的完成一次寻径过程之后，将选出目标函数值最小的路径，用以完成全局信息素的更新，使得较优解保留下来，对后继蚂蚁产生影响，加快收敛到最优解的速度。
设，为两个相连接点，则有：
（2）
其中，变量是在时刻，节点之间路上信息素的增加量
是位于[0,1]上的“激素”挥发因子；
为到目前为止所找到全局最短路径长度。
（3）信息素的局部更新
对于第只蚂蚁，在建立一个解得过程中也同时进行激素迹的更新，如果节点是它所选择路径上的两个相邻节点，规则如下：
否则，不更新。
其中，，，是各条路上的信息素的初始值，通常取同一值，表示同一环境。
信息素的更新策略有很多种方法，每种更新策略的主要差别体现在的求法上。
我们规定蚂蚁在完成一个循环后更新所有路径上的信息素，其方程式为：
（3）
上式中表示蚂蚁携带信息素的量，其值的大小影响算法的收敛速度；
表示第只蚂蚁在本次循环中所走的路程总长度。
5.1.3基于蚁群算法的实现步骤[2]
本题基于蚁群算法的实现步骤如下：
：
初始化。
时间，循环次数，设置最大循环次数为，；
循环次数；
蚂蚁个数；
蚂蚁选择可以到达的城市，按照状态转移规则移动到下一个城市；
对于城市，由于已经到达，所以添加到禁忌表中；
判断所有城市是否都经过，若未完全经过，表明蚂蚁个数没有达到，则转向执行，否则执行；
由于信息素改变，要求按照公式
（2）（3）更新最短路径信息素，使得较优解保留，加快收敛到最优解的速度；
若表明没有满足终止条件，即转向执行，否则执行；
输出最优结果。
5.1.4模型的求解
（1）求解城市之间的距离
首先，假设经线和纬线近似平行分布，根据附表2（见附录I）可知11座城市的经纬坐标。
建立直角坐标系，以纬度最低的城市所在的纬线为轴，以经度最小的城市所在的经线为轴，计算11座城市的坐标。
将城市进行编号，计算相应城市间的距离得到附表3（见附录I），得到编程数据（见附录II）。
（2）求解最短路径
利用上述蚁群算法的步骤，使用附录II的数据，编写程序，得出以下结果：
Shortest_Route=
6954312117108
图一：
模拟图
对上述结果进行处理，根据城市编号求出最优解为：
徐州→常州→舟山→黄山→九江→武汉→洛阳→西安→祁县→北京→青岛→徐州
由上面结果可以在中国地图上模拟出最短路线，如下：
图二：
问题一模拟路径图
5.1.5设计旅游行程表和求出总费用
我们根据蚁群算法得出游览全部景点的最短路径，在得出的最短路径的基础上，我们通过查阅火车票价、车次、运营时间，宾馆价格、名称等大量资料和数据，尽可能的减少其在行程上的花费，设计出如下旅游行程表：
表一：
问题一行程表（其余答案参见附录III）
日期
时间
行程
价格（元）
5月1日
8:
30—15:
45
乘坐L8449次列车（徐州——常州）
34
16:
00——21:
00
游览常州市
21:
00——7:
住宿于常州蓝色快舟营销人连锁旅店
120
5月2日
7:
00——8:
乘坐公交去中华恐龙园
4
00——16:
游览中华恐龙园
160
00——17:
乘坐公交返回
17:
00——22:
30
22:
30——5:
20
乘坐K75次列车（常州——宁波）
73
5月3日
5:
30——8:
乘坐758W公交到白峰码头——乘坐船到普陀山
16
00——14:
游览普陀山
200
14:
返回宁波站
15
乘坐K8500次列车（宁波——宣城）
63
15——1:
候车
并且得出最少的总旅游费用为3438元。
5.2问题二的求解
5.2.1模型的建立
基于第一问的模型，我们稍作改进。
因为第二问要求安排时间最短的旅游行程表，而费用不限，由于飞机费用过大，所以在第一问我们未做考虑，但由于其时间比火车和汽车都要快的多，所以我们把飞机作为首要考虑对象加入第二问中。
第一问的模型中，是把任意两点之间的距离作为参数，从而进行求解，得出最短路径。
在第二问中，我们把任意两点之间的所乘坐的交通工具的最短时间作为参数，建立时间最优化模型,结合软件（程序见附录III）求出经过所有旅游景点的花费时间最短的路线。
5.2.2模型的解释
在模型中，我们引入0-1变量，若通过两城市
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