数值分析期末复习资料docWord文档格式.docx
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|//（x*）|-|£
*（x）|或其变形公式求相对误差（两边同时除以/（%*））eg.P19习题1、2、5
（2）多元函数（P8）eg.P8例4,P19习题4
第二章插值法
一、插值条件
1＞定义:
在区间［a,b］上,给定n+1个点，aWxoVx^V…VxnWb的函数值yi=f（xi）,求次数不超过n的多项式P（x）,使Pg=y.i=0,1,2,…，/?
2、定理：
满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P（x）存在且唯一
二、拉格朗日插值及其余项
1＞n次插值基函数表达式（P26（2.8））
2、插值多项式表达式（P26（2.9））
3、插值余项（P26（2.12））：
用于误差估计
4、插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1
三、差商（均差）及牛顿插值多项式
1＞差商性质（P3O）：
（1）可表示为函数值的线性组合
（2）差商的对称性：
差商与节点的排列次序无关
（3）均差与导数的关系（P31（3.5））
2、均差表计算及牛顿插值多项式
例：
已知x=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求尸的近似值。
E（.V）=1+O・33333（jv—1）—0.0166（.v—l）（.v—1）
咽此计算得、厅的近似值为马（7）=
2.69992.
（1）分段函数，每段都是三次多项式
（2）在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）
⑶Sg）二儿J=
考点：
利用节点函数值、导数值相等进行解题
第三章函数逼近与曲线拟合
一、曲线拟合的最小二乘法
解题思路：
确定0,解法方程组，列方程组求系数（注意©
应与系数一一对应）eg.P95习题17形如y=aebx解题步骤：
（1）线性化
（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）冋代
第四章数值积分与数值微分
一、代数精度
1、概念:
如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立,但对于m+1次多项式不准确成立,则称该求积公式具有m次代数精度
2、计算方法：
将f（x）=l,x,x2,-xn代入式子求解eg.PlOO例1
二、插值型的求积公式
J：
f（x）dx=£
（『lk（x）dxj（Xk）（町
其中Ux）北匕乞为Lagrange插值基函数.b
泸f求积系数Ak=Jalk（x）dx
定理：
求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：
它是插值型的。
三、牛顿•科特斯公式
1、掌握科特斯系数的情况即可（P104表4・2）,性质：
和为1,对称性
2、定理：
当n为奇数时，牛顿■柯斯特公式至少有n次代数精度；
当阶n为偶数时，牛顿■科特斯公式至少具有n+1次代数精度
h—（1
3、在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即xk=a+khji=——-,k=0,1,2,....no则可n
构造牛顿■柯斯特求积公式：
/产（b-a）》cr/g）,cr）=
k=0
Knn;
（i\/lRnn
j圭kj*k
4、
n=l[I寸、
n=2时,
求积公式为梯形公式:
J7⑴如岂0［/（d）+/（b）［
a一
求积公式为辛普森公式：
\f（x）dx^^^-
a6
求积公式为柯特斯公式：
0°
）［7/（兀o）+32于（召）+12/（兀2）+32/（兀3）+7于（兀J］
+/3）
n=4吋，
h"
⑴如90a
低阶求积公式的余项：
梯形公式：
Rt=一~（b-匕丫/"
（〃）,〃w［a.b］
12
辛普森公式：
傀=_与黑］筈纟］于⑷（〃）,〃€［⑦切
1oU\27
柯特斯公式：
Rc=——[-—]f⑹[⑦列
c945（4丿I丿l」
5、复合梯形公式及余项（P106）
Tn/（a）+2£
/（"
J+/（b）Rn（f）=I-Tn=^一~胪厂（久）《w（习+%i）乙k=\"
01乙
6、复合辛普森公式及余项（P107）
s£
/（a）+4f/（%%）+2£
/（忑）+/（b）
°
LA=0k=\_
n-\U_q/仿、°
==丄-而-广（久），〃工（耳+林+j
k=01oUVZ7
四、高斯型求积公式（书P117-120）
1>
定义：
如果求积公式具有2n+l次代数精度，则称其节点Xk为高斯点。
八2
如dx
\/2y
X—兀•）©
+]
求积公式：
"
（认心孕心）人+（昵_皿心）
\/\
£
'
9〕
—
10
b丿
9
\/
5
8
6
7
13
r*
f2n+2（）b
余项：
R“［小莎剂必（少恥
2、
第五章解线性方程组的直接方法
一、高斯消去法：
利用增广矩阵
二、LU分解Ly=b；
Ux=y
特点：
L对角线均为1,第一列等于A的第一列除以amU的第一行等于A的第一行2、LU分解唯一性：
A的顺序主子式DiHO
三、平方根法：
Ly=b;
lJx=y
例题：
用平方根法解对称正定方程组解：
先分解系数矩阵A
=厶
其次解Ly=b
7[29
To忖
5j3
\7oVT74
_b、9
_4-丫％几10
几=―恳—=加
n=
（9、
io-Z^
29
一3
7174
7/29
最后解l7x=y
9二310
=?
6，7TT4，?
3
H一工・g
上・2
改进平方根法：
人=厶DU\Ly=b,DlJx=y
四、
飞q
a2b2c2
•••
斥5
10、_
1•・・
%hn-X
_an
Cn-X
bn_
■
•
几ann_
iA->
1
追赶法：
A=LU,Ly=f,Ux=y
A=
五、范数（误差分析）
1、向量范数定义及常用范数
OO-范数（最大范数）
=maxx.l<
i<
n
1-范数：
||x|£
|x』
i=l
（n、
2-范数：
||x|〔2=£
|x；
|
\i=l丿
p-范数：
||x||p二
P
（l<
P<
4-oo）
2、矩阵范数定义及常用范数
8一范数（行范数）：
||A||ee=max^|aij|
_i_nj=]
1-范数（列范数）
-J-ni=i
2-范数广几g）
（n>
2
f-范数ah广xNI
\N=1丿
其屮4ax（A7A）表示半正定矩阵的最大特征值，矩阵的前三种范数分别与向量的前三种范数相容
3、条件数
条活数是线性方程组Ax=b的解对b中的误差或不确定度的敏感性的度量。
数学定义为矩阵A的条
件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即
8肱（人）=||绷卜5的逆，对应矩阵的3种范
数，相应地可以定义3种条件数。
条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。
对于线性方程组Ax"
如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。
如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。
它也可以表示b不变，而A有微小改变吋，x的变化情况。
所以当cound（A）>
>
1时，方程组Ax=b是病态的，否则称为良态
4、条件数的性质：
1、对任何非奇异矩阵A都有cond（A）v>
l.由定义co加（A）严卜卯凤习卜+|广胡|=1・
2>
设A为非奇异矩阵JlcH0（常数），则cond（cA）v=cond{A）v
3、如果A为正交矩阵，贝1皿加（力）2=1；
如果A为非奇异矩阵，/?
为正交矩阵，则cond（RA）0=cond\AR\=condXA）^
例:
Hilbert阵Hn=
_n
n+1
n+T
2n-l
cound（HO=27
Z8
cond（Hp^-748
cond（H6）=2.9xl06
cond（H【8too
第六章解线性方程组的迭代法
-、迭代法：
xW=Bod+/
迭代法收敛的两种判断方法：
若人是心川矩阵，且满足励》习血（|©
|>
血）（，二1,2,…，川）,则称a为对角占优矩阵（严格对角占优矩阵）。
p（A}=maxA<
1
2、（非常重要）谱半径小于1收敛即：
）因®
（谱半径越小，收敛速度越快）
3、收敛性判别条件：
1）SOR迭代法收敛的必耍条件：
SOR迭代收敛，则0〈W<
2o
2）SOR迭代法收敛的充要条件：
A为对称正定矩阵且0〈W<
2,贝IJSOR收敛。
根据迭代法收敛性定理，sor法收敛的充分必要条件为加久）^,但要计算p（Gj比较复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A判断SOR迭代收敛性，下面先给出收敛必要条件.
定理1：
设A=（aij）e尺呦,勺工0（心1,2,…力），则解方程Ax=b的SOR迭代法收敛的必要条件是0<
3V2.
定理2：
若AeR,txn对称正定，且OV3V2,则解Ax=b的SOR迭代法xu，+1）=Gxw+f对
V^eRn迭代收敛.对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大，二、雅克比迭代法
aii
+anx2+...+ainxn-bxa^x}+a22x2+...+ci2nxn=b2
仔丄（_讣-...―讣+勺）
«
x2=-（-a2ixi-...-a2nxn+b2）。
22
、色內+色2花+・・•+%&
=仇
Ax=b
无（曲）=Bxw+f
（f=b）
由方程Ax二b解得：
xi=—
bi~xaiJxJ
戶1j$l丿
i=123n
对该方程应用迭代法即得解方程组Ax二b的雅可比迭代公式（分量形式）
/、
宀丄
i=123ri.
k=0J，2
■0■
。
21°
+
a22
0%…气-
•・—
anl…％
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