数值分析期末复习资料docWord文档格式.docx

1、 |/（x*）|-| *（x）|或其变形公式求相对误差（两边同时除以/（%*） eg.P19 习题 1、2、5（2） 多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1定义:在区间a,b上,给定n+1个点，aWxoVxVVxnWb的函数值 yi=f（xi）,求次数不超过n的多项式P（x）,使Pg = y. i = 0,1,2,，/?2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P（x）存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1 n次插值基函数表达式（P26 （2.8）2、 插值多项式表达式（P26 （2.9）3、 插值余项（P26 （2.12）：用于误差估计4

2、、 插值基函数性质（P27 （2.17及2.18） eg.P28例1三、差商（均差）及牛顿插值多项式1差商性质（P3O）：（1） 可表示为函数值的线性组合（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关（3） 均差与导数的关系（P31 （3.5）2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知x=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商 公式求尸的近似值。 E（.V）= 1 + O33333（jv 1） 0.0166 （.v l）（.v 1）咽此计算得、厅的近似值为马（7）=2.69992.（1） 分段函数，每段都是三次多项式（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）Sg）二儿J =考点：利用

3、节点函数值、导数值相等进行解题第三章函数逼近与曲线拟合一、曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定0,解法方程组，列方程组求系数（注意应与系数一一对应）eg.P95习题17 形如y=aebx解题步骤：（1）线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）冋代第四章 数值积分与数值微分一、代数精度1、 概念:如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立,但对于m+1次多项式不准确成立, 则称该求积公式具有m次代数精度2、 计算方法：将f（x）=l,x,x2, -xn代入式子求解eg.PlOO例1二、插值型的求积公式J：f（x）dx = （lk（x）dx j（Xk）（町其中Ux）北匕乞为Lagrang

4、e插值基函数 .b泸f 求积系数Ak=Jalk（x）dx定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。三、牛顿科特斯公式1、 掌握科特斯系数的情况即可（P104表42）,性质：和为1,对称性2、 定理：当n为奇数时，牛顿柯斯特公式至少有n次代数精度；当阶n为偶数时，牛顿科特斯公 式至少具有n+1次代数精度h （13、在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即xk=a + khji = -,k=0, 1, 2, .no则可 n构造牛顿柯斯特求积公式：/产（b-a）cr/g）,cr）=k=0K n n ; （ i/lR n nj圭k j*k4、n=l I寸、n=2 时,求积公式为梯

5、形公式: J7如岂0/（d）+/（b）a 一求积公式为辛普森公式：f（x）dx-a 6求积公式为柯特斯公式：0 ）7/（兀o） + 32于（召）+ 12/（兀2）+ 32/（兀3）+ 7于（兀J+ /3）n=4 吋，h 如90 a低阶求积公式的余项：梯形公式：Rt =一 （b - 匕丫 /（）, w a.b12辛普森公式：傀=_与黑筈纟于（）, 切1oU 2 7柯特斯公式：Rc = - f列c 945 （ 4丿I丿l5、复合梯形公式及余项（P106）Tn /（a） + 2/（J + /（b） Rn（f） = I -Tn= 一 胪厂（久） w （习+%i） 乙 k= 0 1乙6、复合辛普森公式及

6、余项（P107）s /（a） + 4f/（%） + 2/（忑） + /（b） L A=0 k= _n- U_q / 仿、= =丄-而-广（久），工（耳 + 林+jk=0 1 oU V Z 7四、高斯型求积公式（书P117-120）1 定义：如果求积公式具有2n+l次代数精度，则称其节点Xk为高斯点。八2 如 dx /2 yX兀）+求积公式：（认心孕心）人+（昵_皿心） / 910b丿9 /586713r*f2n+2 （ ） b余项：R“ 小莎剂必（少恥2、第五章 解线性方程组的直接方法一、 高斯消去法：利用增广矩阵二、 LU 分解 Ly=b； Ux=y特点：L对角线均为1,第一列等于A的第一列

7、除以am U的第一行等于A的第一行 2、LU分解唯一性：A的顺序主子式DiHO三、 平方根法：Ly = b;lJx= y例题：用平方根法解对称正定方程组 解：先分解系数矩阵A=厶其次解Ly = b7 29To忖5 j37o VT74_ b、 9_4-丫 几 10几=恳=加n=（9、io-Z29一371747 /29 最后解l7x = y9 二3 10=?6，7TT4，?3H 一工g上2改进平方根法：人=厶DULy = b,DlJx = y四、飞qa2 b2 c2 斥 51 0、 _1 % hn-X_ anCn-Xbn _几 ann_i A-1追赶法：A=LU, Ly=f, Ux=yA =五、范

8、数（误差分析）1、向量范数定义及常用范数OO-范数（最大范数）= max x. lin1-范数：|x|xi=l（n 、2-范数：|x|2= |x；| i=l 丿p-范数：|x|p二P,（lP2f-范数ah广xNIN=1 丿其屮4ax（A7A）表示半正定矩阵的最大特征值，矩阵的前三种范数分别与向量的前三种范数相 容3、 条件数条活数是线性方程组Ax=b的解对b中的误差或不确定度的敏感性的度量。数学定义为矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即8肱（人）=|绷卜5的逆，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax,如果A的条

9、件数大，b 的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的 改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变吋，x的变化情况。所以当cound （A） 1时，方程组Ax=b是病态的，否则称为良态4、条件数的性质：1、对任何非奇异矩阵A都有cond（A）vl.由定义co加（A）严卜卯凤 习卜+|广胡| = 12设A为非奇异矩阵JlcH0（常数），则cond（cA）v = condA）v3、如果A为正交矩阵，贝1皿加（力）2=1；如果A为非奇异矩阵，/?为正交矩阵，则 cond（RA）0 = condAR = condXA）例:Hilbert阵

10、 Hn =_nn+1n+T2n-lcound （HO =27Z 8cond （Hp - 748cond（H6）=2.9xl06cond（H【8 too第六章解线性方程组的迭代法-、迭代法：xW=Bod+/迭代法收敛的两种判断方法：若人是心川矩阵，且满足励习血（|血）（，二1,2,，川）,则称a为对角占优矩阵（严 格对角占优矩阵）。p（A = max A 12、（非常重要）谱半径小于1收敛即：）因 （谱半径越小，收敛速度越快）3、收敛性判别条件：1） SOR迭代法收敛的必耍条件：SOR迭代收敛，则0W 2o2） SOR迭代法收敛的充要条件：A为对称正定矩阵且0W 2,贝IJSOR收敛。根据迭代法

11、收敛性定理，sor法收敛的充分必要条件为加久）,但要计算p（Gj比较 复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A判断SOR迭代收敛性，下面先给出收 敛必要条件.定理1：设A = （aij）e尺呦,勺工0（心1,2,力），则解方程Ax=b的SOR迭代法收敛的 必 要条件是03 V2.定理2：若Ae R,txn对称正定，且OV 3V2,则解Ax=b的SOR迭代法xu，+1） = Gxw + f对Ve Rn迭代收敛.对于SOR迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大， 二、雅克比迭代法aii+anx2 + . + ainxn -bx ax + a22x2 +. + ci2nxn = b2仔丄（_讣-.讣+勺）x2=-（-a2ixi-.-a2nxn+b2） 。22、色內+色2花+ + %&=仇Ax=b无（曲）=Bxw + f（f=b）由方程Ax二b解得：xi =bixaiJxJ戶1 j$l 丿,i = 123 n对该方程应用迭代法即得解方程组Ax二b的雅可比迭代公式（分量形式）/ 、宀丄,i = 123 ri.k=0 J，2 0 。21 +a220 %气-anl