广东省梅州市五华县届高三第一次质检数学理试题.docx

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广东省梅州市五华县届高三第一次质检数学理试题

广东省梅州市五华县2019届高三上学期第一次质检

数学（理）试题

本试卷满分150分，考试时间150分，考试用时120分钟

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式：

锥体的体积公式：

（其中S是锥体的底面积，h是锥体的高）

球的表面积，体积公式：

（R是半径）

一、选择题：

本大题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．已知集合，集合则为（）

A．{1，2，4}B．{2，3，4}C．{0，2，4}D．{0，2，3，4}

2．复数（）

A．B．C．D．

3．如右图，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A．

B．

C．

D．

4．“”是“函数有零点”的（）

A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件

5．若曲线在点（0，1）处的切线方程是，则（）

A．a=－1，b=－1B．a=－1，b=1C．a=1，b=－1D．a=1，b=1

6．已知向量·则是（）

A．最小正周期为的偶函数B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数D．最小正周期为的奇函数

7．有5名班委进行分工，其中A不适合做班长，B只适合做学习委员，则不同的分工方案种数为（）

A．18B．24C．60D．48

8．对于任意x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1，1]=1[－2，1]=－3，定义R上的函数若，则A中所有元素的和为（）

A．55B．58C．63D．65

二、填空题：

（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）

9．计算。

10．如图所示的流程图中，输出的结果是。

11．在等差数列中，有，则此数列的前13

项之和为。

12．展开式中，常数项是。

13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的

最小值为。

（二）选做题：

第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，

只计前一题的得分。

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线为参数）与曲线为参数，）有一个公共点在X轴上，则a=　　　　　　　　　　。

15．（几何证明选讲选做题）如图３，PAB、PCD为⊙0的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于。

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知函数的最大值是1，其图像经过点。

（1）求的解析式；

（2）已知求的值

17．（本小题满分13分）

第30届夏季奥运会将于2019年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者。

将这20名志愿者的身高编成如上茎叶图（单位：

cm）：

若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”。

（Ⅰ）如果用公层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽了5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？

（Ⅱ）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望。

18．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，ACAD，PA=AD=2，AC=1。

（Ⅰ）证明PCAD；

（Ⅱ）求二面角A－PC－D的正弦值

19．（本小题满分14分）设正项等比数列的首项前n项和为，且

（Ⅰ）求的通项；

（Ⅱ）求的前n项。

20．（本小题满分14分）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右项点D（2，0），设点。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；

（3）过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值。

21．（本小题满分14分）已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ若不等式在区间上恒成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）求证：

参考答案

一、选择题：

（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）

1．C2．A3．D4．C5．D6．A7．A8．B

3．【解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。

故选D

8．【解析】，，

，，，

，，

所以A中所有元素的和为58

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）

9、810、12011、5212、6013、－414、15、6

13、

【解析】做出不等式对应的可行域如图，

由得，由图象

可知当直线经过点时，

直线的截距最大，而此时

最小为。

14、【解析】曲线：

直角坐标方程为，与轴交点为；

曲线：

直角坐标方程为，其与轴交点为，

由，曲线与曲线有一个公共点在X轴上，知．

15、【解析】由得又

三、解答题：

16、解：

（1）依题意知A=1　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．．．１分

，又；．．．．．．．．．３分

∴即　　　　　．．．．．．．．．４分

因此　　　　．．．．．．．．．５分

（2），且

∴，　　　　　　　　．．．．．．．．．９分

．．．．．．．．．．１２分

17、解：

（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每

个人被抽中的概率是，所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有

人．…3分

用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高

个子”被选中”，　则．因此，至少有一人是“高个子”的概率是．…………6分

（Ⅱ）依题意，所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数X的取值分别为．

　，　，　，

　因此，X的分布列如下：

X

…………11分

所以X的数学期望…………13分

18、解：

方法一:

（1）以为正半轴方向，建立空间直角左边系…………1分

则…………3分

…………6分

（2），设平面的法向量

则取…………10分

是平面的法向量…………11分

得：

二面角的正弦值为…………13分

方法二:

（1）证明,由平面,可得,…………2分

又由,故平面,…………5分

又平面,所以．…………6分

（2）解:

如图,作于点,连接,由,可得平面．因此,,从而为二面角的平面角．…………9分

在中,,由此得,………10分

由

（1）知,故在中,

………12分

因此,所以二面角

的正弦值为．……13分

19、解：

（Ⅰ）由得……２分

即

可得　　……………………４分

因为，所以解得，　　…………………………５分

因而　　　……………………………………６分

（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故

　　　…………………８分

则数列的前n项和…………9分

……………11分

前两式相减，得…………12分

即…………１４分

20、解：

（1）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1．　………………２分

又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为……………………３分

（2）设线段PA的中点为M（x,y）,点P的坐标是（x0,y0）,

由

x=

得

x0=2x－1

y=

y0=2y－

……………………５分

由,点P在椭圆上,得,　　　　……………………６分

∴线段PA中点M的轨迹方程是……………………７分

（3）当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1．　………………８分

当直线BC不垂直于x轴时，设该直线方程为y=kx,代入,

解得B（,）,C（－,－）,　………………１０分

则,又点A到直线BC的距离d=,　………………１１分

∴△ABC的面积S△ABC=　　　　　………………１２分

于是S△ABC=　　　　　

由≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立．

∴S△ABC的最大值是．　　　　　　　　　　　………………………１４分

21、解：

（Ⅰ），故其定义域为…………1分

…………2分

令>0,得；令<0,得…………3分

故函数的单调递增区间为单调递减区间为…………4分

（Ⅱ）

令，又，令解得…………6分

当x在内变化时，，变化如下表

x

）

+

0

-

↗

↘

由表知，当时函数有最大值，且最大值为所以，………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

…………11分

…………13分

即…………14分