1、 (2)(1)(2)两式相加得:结论:平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.思考1:如果将上面(1)(2)两式相减,能得到什么结论呢? 极化恒等式对于上述恒等式,用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例,你觉得极化恒等式的几何意义是什么?几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.即:(平行四边形模式)思考:在图1的三角形ABD中(M为BD的中点),此恒等式如何表示呢?因为,所以(三角形模式)ABC例1.(2012年浙江文15)在中,是的中点,则_ .解:因为是的中点,由极化恒等式得:=9-= -16【小结】在运用极化恒等式的
2、三角形模式时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式。目标检测取AB的中点D,连结CD,因为三角形ABC为正三角形,所以O为三角形ABC的重心,O在CD上,且,所以,(也可用正弦定理求AB)又由极化恒等式得:因为P在圆O上,所以当P在点C处时,当P在CO的延长线与圆O的交点处时,所以【小结】涉及数量积的范围或最值时,可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量,再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。例3.(2013浙江理7)在中,是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有。则( )A. B. C. D. 课后检测1.在中,若,在线段上运动,的最小值为 2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为( )A. B. C. D. 3在中,若是所在平面内一点,且,则的最大值为 4 若点和点分别是双曲线的中心和左焦点,点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是 .5在,已知点是内一点,则的最小值是 .6.已知是单位圆上的两点,为圆心,且是圆的一条直径,点在圆内,且满足,则的取值范围是( )A B C D7. 正边长等于,点在其外接圆上运动,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 8在锐角中,已知,则的取值范围是