中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第10章课后习题详解Word格式文档下载.doc
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应于从到的一段弧.
空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式.
原式=.
★★★1.计算曲线积分，其中为球面与平面
的交线。
的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但满足，故总有.
即
原式=
1）利用被积函数定义在上，故总有，是常用的一种简化运算的方法.
2）为平面上的一个圆，圆心，半径为.
课后习题全解
习题10-1
★1.设在面内有一分布着质量的曲线弧L，在点处它的线密度为，用对弧长的曲线积分分别表达：
1）该曲线弧对轴、轴的转动惯量和；
2）该曲线弧的质心坐标和.
第一类曲线积分的概念及物理意义.
面内的一段曲线，其线密度为，则
1）线段的质量为：
2）线段关于轴和轴的静力矩为：
3）线段对轴和轴的转动惯量：
由第一类曲线积分的概念及物理意义得
（1）,
（2）
★2.计算，其中。
解：
法一：
原式=
法二：
原式=.（利用性质2）
★3.计算，其中为连接，两点的直线。
解：
直线方程为：
原式=
★★4．计算，其中L为内摆线的弧。
摆线的参数方程为：
原式
★★5.计算曲线积分，其中为螺旋线上相应于从到的一段弧。
★★6.计算曲线积分，其中为折线,这里,,,依次为点，，，.
如图，原式=
：
：
原式=.
★★7.计算，其中为对数螺线在圆的内部。
依题意：
得
.
★★★8.计算曲线积分，其中为球面与平面的交线。
即
的参数方程为：
原式=
★9..求半径为、中心角为的均匀圆弧（线密度的质心.
取扇形的角平分线为轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则
圆弧的方程为：
由图形的对称性和知，而
故质心在（）.
★10.求螺旋线，对轴的转动惯量，设曲线的密度为常数.
.
★11.设螺旋形弹簧一圈的方程为，其中，它的线密度.求：
（1）螺旋形弹簧关于轴的转动惯量;
（2）螺旋形弹簧的重心.
解:
（1）
（2）
螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为：
同法得：
.
.
提高题
★★★1.计算，其中为正向圆周，直线及轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
与在第一象限的交点为.
如图：
;
则原式
★★★★2.计算，其中为圆柱面与锥面的交线.
，参数方程为
又
故.（此题请核查）
§
10.2第二类曲线积分
内容概要
名称
主要内容
第二类曲线积分
1.平面曲线：
2.空间曲线：
常用的性质
1．其中表曲线的某一方向（正向）,表曲面的另一方向（负向）
2.若,则
计算
（平面曲线）
，起点，终点，其中具有一阶连续的导数，则
（空间曲线）
起点，终点，其中具有一阶连续的导数，则
★★1.计算，其中是为顶点的正方形的正向边界.
第一类曲面积分.
如图由四段直线段组成，故要分段积分.
如图
变化从到
★2．计算曲线积分，其中为曲线上对应
于从到的一段弧.
原式
.
课后习题全解
习题10-2
★1.计算，其中为与轴所围成的闭曲
线，依顺时针方向.
如图
其中变化从到，
变化从到,
★2.计算，其中为圆周上对应于从
到的一段弧.
原式
★★3.计算曲线积分，其中为从经到点
的那一段.
★★4.计算曲线积分，其中为圆周（按逆
时针方向绕行）.
圆的极坐标方程为：
，从变到
原式=
.
★★★5.计算，设，式中
方向依参数增加的方向.
.
★★★6.计算，其中为上对应
★★★7.计算，其中是从点到点的直线.
直线的方向向量为，
故其参数方程为：
从变到
★★★8.计算，其中为圆柱面与
的交线，从轴正向看为逆时针方向.
的参数方程为：
从变到
★★★9.在过点和的曲线族中，求一条曲线，该
曲线从O到A的积分的值最小。
从变到,
令得（负号舍去）
为所求曲线。
★★★10.计算，其中分别为路线：
（1）直线;
（2）抛物线:
;
（3）三角形
（1）直线方程：
即从变到,
（2）抛物线:
从变到
（3）,从变到
从变到
★★★11.设为曲线上相应于从变到的一段曲线弧,把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分。
★★★12.计算沿空间曲线对坐标的曲线积分，其中是与相交的圆，其方向沿曲线依次经过1，2，7，8挂限。
的参数方程：
注：
利用
★13.设轴与重力的方向一致，求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所作的功。
F={0,0,mg},g为重力加速度;
记dr=,,
则功
★★★14.质点沿以为直径的半圆周，从点运动至点的过程中，受到变力的作用，的大小等于点与原点之间的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角小于，求变力对质点所作的功。
依题意，
从A点到B点半圆周的方程：
则功
提高题
★★★1.计算，其中为上半椭圆周（按逆
时针方向）.
从变到
此题可用直角坐标系求解，较用参数方程繁.
10.3格林公式及其应用
格林公式
设及它们的一阶偏导数在闭域上连续，则
其中是闭域的边界曲线，且取正向.
面积
曲线积分与路径无关的等价条件
1.域内处处成立.
2.沿域内的任一闭路积分为零，即
3.在域内存在函数，使
曲线积分的牛顿莱布尼茨公式
若域内，则内任意两点
1.计算
★★★1）;
★★★★2）.
其中,,,是折线，是由到的直线段，如图.
格林公式.
1），应用格林公式方便.
2）这题并非闭路，不能直接用格林公式，为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再减去补上的这些曲线段上的线积分.补上的这些曲线段上的线积分本身应易于计算.今补上（如图）.
1）
2）如图
其中（见本题1）
由变到，
应用格林公式时，除连续条件外，还要求：
1）和是正向关系，本题1）的方向是反向的，故先改成正向，随后再用格林公式.
2）注意公式中前是号，如本题改写成，此时不能误认为，而应是.
★★★★2.计算，其中为圆周的逆时针方向.
，应用格林公式方便,.但因围的区域内含被积函数不连续的点，故
要把不连续的点挖掉.
在包围的区域内作顺时针方向的小圆周
变化从到
在与包围的区域上，
及格林公式，有
因围的区域内含被积函数不连续的点，故此题不能直接用格林公式。
习题10-3
★★1.利用格林公式计算积分
其中为正向圆周曲线.
原式=
★★2.利用格林公式计算积分，其中顶点为和的正方形区域的正向边界。
设围的区域为D:
原式=
.
★★3.计算，其中是沿逆时真方向的椭圆。
解：
设围的区域为D
原式=
注：
利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有.
★★4.利用曲线积分，求星形线所围成图形的面积。
由公式
★★5.求双纽线所围区域的面积。
双纽线的极坐标方程为：
由图形的对称性知：
★★6.计算，其中为圆周的顺时针方向。
参数方程为：
因围的区域内含被积函数不连续的点，故此题不能用格林公式。
★★7.计算，其中是在圆周上由
到的一段弧。
设,,连接则围区域D
，
★★8.计算，其中是位于第一象限中的直线与位于第二象限中的圆弧构成的曲线，方向是由到再到.
连接则围区域,
★★9.计算，其中从沿摆线到.
设连接则围区域
★★★10.计算，其中为包围有界闭区域得简单曲线，的面积为，n为的外法线方向.
设沿逆时针方向的任意点的单位切向量
（分别是与轴、轴正向夹角）.
则
★★★11.计算，其中为单位圆周的正向.
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